立方根
lì fāng gēn
一个数的立方根是与自身相乘三次能得到该数的那个值。
Formula
\sqrt[3]{n} = x \text{ means } x^3 = n
Definition
一个数的立方根是与自身相乘三次能得到该数的那个数，用根号内加一个小 $3$ 来表示。形式上，$n$ 的立方根是满足 $x^3 = n$ 的实数 $x$，记作 $\sqrt[3]{n}$ 或 $n^{1/3}$；与平方根不同，负数也存在立方根，因为 $\sqrt[3]{-8} = -2$（$(-2)^3 = -8$），且每个实数恰好有一个实立方根。函数 $x^{1/3}$ 在 $x \neq 0$ 处连续可导，$\frac{d}{dx}(x^{1/3}) = \frac{1}{3}x^{-2/3}$；在复平面上，每个非零的 $z$ 都有三个立方根，$|z|^{1/3} e^{i(\arg(z)+2\pi k)/3}$（$k = 0, 1, 2$），构成一个等边三角形的三个顶点。
Example
$8$ 的立方根是 $2$，因为 $2 \times 2 \times 2 = 8$；$27$ 的立方根是 $3$。$\sqrt[3]{125} = 5$，$\sqrt[3]{-27} = -3$，$\sqrt[3]{10} \approx 2.154$（无理数），化简 $\sqrt[3]{54} = 3\sqrt[3]{2}$，因为 $54 = 27 \times 2 = 3^3 \times 2$。单位立方根是 $1$、$e^{2\pi i/3} = -1/2 + i\sqrt{3}/2$ 和 $e^{4\pi i/3} = -1/2 - i\sqrt{3}/2$，它们的和为 $0$，积为 $1$。
Key Insight
立方根就是给定体积的立方体的边长：体积为 $64$ 立方单位的立方体，边长为 $4$，因为 $4^3 = 64$。立方根也是一个奇函数，$\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}$，因为 $(-x)^3 = -(x^3)$。$n$ 次单位根在复平面的单位圆上均匀分布，这一几何图景正是离散傅里叶变换的基础，也解释了快速傅里叶变换（FFT）算法为何呈现出如此结构。