Raíz Cúbica
La raíz cúbica de un número es el valor que, multiplicado por sí mismo tres veces, da ese número.
Formula
\sqrt[3]{n} = x \text{ means } x^3 = n
Definition
La raíz cúbica de un número es lo que multiplicas por sí mismo tres veces para obtener ese número, escrita con un pequeño $3$ dentro del signo radical. Formalmente, la raíz cúbica de $n$ es el número real $x$ tal que $x^3 = n$, escrito $\sqrt[3]{n}$ o $n^{1/3}$; a diferencia de las raíces cuadradas, las raíces cúbicas existen para números negativos, ya que $\sqrt[3]{-8} = -2$ porque $(-2)^3 = -8$, y todo número real tiene exactamente una raíz cúbica real. La función $x^{1/3}$ es continuamente diferenciable para $x \neq 0$, con $\frac{d}{dx}(x^{1/3}) = \frac{1}{3}x^{-2/3}$; en el plano complejo, todo $z$ distinto de cero tiene tres raíces cúbicas, $|z|^{1/3} e^{i(\arg(z)+2\pi k)/3}$ para $k = 0, 1, 2$, formando los vértices de un triángulo equilátero.
Example
La raíz cúbica de $8$ es $2$, ya que $2 \times 2 \times 2 = 8$; la raíz cúbica de $27$ es $3$. $\sqrt[3]{125} = 5$, $\sqrt[3]{-27} = -3$, $\sqrt[3]{10} \approx 2.154$ (irracional), y al simplificar $\sqrt[3]{54} = 3\sqrt[3]{2}$ ya que $54 = 27 \times 2 = 3^3 \times 2$. Las raíces cúbicas de la unidad son $1$, $e^{2\pi i/3} = -1/2 + i\sqrt{3}/2$, y $e^{4\pi i/3} = -1/2 - i\sqrt{3}/2$, cuya suma es $0$ y cuyo producto es $1$.
Key Insight
La raíz cúbica es la longitud del lado de un cubo con el volumen dado: un cubo con volumen $64$ unidades cúbicas tiene lado de longitud $4$, ya que $4^3 = 64$. También es una función impar, $\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}$, porque $(-x)^3 = -(x^3)$. Las raíces $n$-ésimas de la unidad están espaciadas uniformemente sobre el círculo unitario en el plano complejo, una imagen geométrica que subyace a la transformada discreta de Fourier y explica por qué los algoritmos FFT están estructurados como lo están.