截面
jié miàn
截面是用一个平面切开三维立体图形所得到的二维图形。
Definition
截面是沿一个平面切开三维物体时看到的二维图形，就像切开一条面包看切面；严格地说，它是立体图形 $S$ 与平面 $H$ 的交集，$S \cap H$。对于棱柱或圆柱，水平截面与底面全等，而斜切则产生不同的形状，截面正是卡瓦列里原理的基础：如果两个立体图形在相同高度处的每个截面面积都相等，则它们的体积相等。对于由 $f(x) > 0$ 绕x轴旋转所生成的旋转体，位置 $x$ 处的截面是半径为 $f(x)$、面积为 $\pi f(x)^2$ 的圆盘，这给出体积的圆盘法，$V = \int \pi f(x)^2 \, dx$（华歇法则处理有孔洞的立体图形）。
Example
水平切开圆柱会看到一个圆；从中心竖直切开则会看到一个矩形。用对角平面切过正方体的 $4$ 个顶点会产生矩形截面，而以一定角度切过 $6$ 个棱中点则会得到一个正六边形，用任意平面切开球都会得到一个圆（如果过球心则是大圆）。对于 $y = \sqrt{x}$ 在 $[0,4]$ 上绕x轴旋转所得的旋转体，每个位置 $x$ 处的截面是半径 $\sqrt{x}$、面积 $\pi x$ 的圆盘，所以 $V = \int_0^4 \pi x \, dx = \pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = 8\pi$。
Key Insight
截面的形状取决于切割的角度：以不同角度切开圆锥会产生四种圆锥曲线，圆、椭圆、抛物线和双曲线，这是几何学中最著名的思想之一。阿基米德利用卡瓦列里原理求出了球的体积，比微积分早了 $2000$ 年，他通过把球的截面与已知立体的截面进行比较来实现这一点；旋转体体积的圆盘法和壳层法是把一个立体分解为薄截面或薄壳的两种等价方式，两者之间的选择是应用微积分中一个反复出现的主题。