Sección Transversal
Una sección transversal es la figura 2D que se obtiene al cortar un sólido 3D con un plano.
Definition
Una sección transversal es la figura 2D que se ve al cortar directamente a través de un objeto 3D, como cortar una barra de pan y mirar la cara de la rebanada; formalmente, es la intersección de un sólido $S$ con un plano $H$, $S \cap H$. Para un prisma o cilindro, las secciones transversales horizontales son congruentes con la base, mientras que los cortes oblicuos producen formas diferentes, y las secciones transversales son la base del principio de Cavalieri: si toda sección transversal de dos sólidos a la misma altura tiene área igual, los sólidos tienen volúmenes iguales. Para un sólido de revolución generado por $f(x) > 0$ rotado alrededor del eje x, la sección transversal en la posición $x$ es un disco de radio $f(x)$ y área $\pi f(x)^2$, dando el método del disco para el volumen, $V = \int \pi f(x)^2 \, dx$ (el método de la arandela maneja sólidos con agujeros).
Example
Corta un cilindro horizontalmente y verás un círculo; córtalo verticalmente a través del centro y verás un rectángulo. Un cubo cortado por un plano diagonal a través de $4$ vértices produce una sección transversal rectangular, mientras que cortar a través de $6$ puntos medios de aristas en un ángulo da un hexágono regular, y una esfera cortada por cualquier plano da un círculo (un círculo máximo si pasa por el centro). Para un sólido de revolución generado por $y = \sqrt{x}$ en $[0,4]$ rotado alrededor del eje x, cada sección transversal en $x$ es un disco de radio $\sqrt{x}$ y área $\pi x$, así que $V = \int_0^4 \pi x \, dx = \pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = 8\pi$.
Key Insight
La forma de una sección transversal depende del ángulo del corte: cortar un cono en diferentes ángulos crea las cuatro secciones cónicas, círculo, elipse, parábola e hipérbola, una de las ideas más famosas de toda la geometría. Arquímedes usó el principio de Cavalieri para hallar el volumen de una esfera, $2000$ años antes del cálculo, comparando sus secciones transversales con las de sólidos conocidos; los métodos del disco y de la envolvente cilíndrica para volúmenes de revolución son dos formas equivalentes de descomponer un sólido en secciones transversales o capas delgadas, y la elección entre ellos es un tema recurrente en el cálculo aplicado.