叉积（向量积）
chā jī (xiàng liàng jī)
两个三维向量的叉积产生一个同时垂直于两者的新向量,其模长等于它们所构成的平行四边形的面积。
Formula
u \times v = (u_2v_3-u_3v_2, u_3v_1-u_1v_3, u_1v_2-u_2v_1)
Definition
叉积把两个三维向量作为输入，产生第三个同时垂直于这两个向量的向量，其长度等于由原来两个向量构成的平行四边形的面积。对于 $u = (u_1,u_2,u_3)$ 和 $v = (v_1,v_2,v_3)$：$u \times v = (u_2v_3-u_3v_2, u_3v_1-u_1v_3, u_1v_2-u_2v_1)$，可通过第一行为单位向量 $i, j, k$ 的 $3 \times 3$ 行列式计算得出；$|u \times v| = |u||v|\sin(\theta)$，方向由右手定则给出，与点积不同，叉积不满足交换律，$u \times v = -(v \times u)$。它是三维（以及通过八元数得到的七维）中独有的运算，是楔积的霍奇对偶，$u \times v = {*}(u \wedge v)$；三重积 $u \cdot (v \times w)$ 等于矩阵 $[u,v,w]$ 的行列式，给出由三个向量张成的平行六面体的带符号体积。
Example
把两根手指指向同一平面内的不同方向：叉积就是一个垂直向上、同时垂直于两者的向量，这就是该平面的"法线"方向，在三维图形学的光照计算中至关重要。由右手定则，$i \times j = k$，$j \times k = i$，$k \times i = j$；对于 $u=(1,0,0)$，$v=(0,1,0)$，$u \times v = (0,0,1) = k$，如预期般指向上方。在电磁学中，$F = q(v \times B)$ 是洛伦兹力，力矩是 $\tau = r \times F$，角动量是 $L = r \times p$，使得叉积在经典力学和量子力学中都不可或缺。
Key Insight
叉积给出由两个向量定义的平面的"法线"方向，且顺序很重要，交换两个向量会得到相反的方向。在微分几何中，叉积推广为外积 $\wedge$，它可以在任意维度中运作，并构成微分形式、斯托克斯定理以及多元积分学的基础。