Producto Cruz
El producto cruz de dos vectores en 3D produce un nuevo vector perpendicular a ambos, con magnitud igual al área del paralelogramo que forman.
Formula
u \times v = (u_2v_3-u_3v_2, u_3v_1-u_1v_3, u_1v_2-u_2v_1)
Definition
El producto cruz toma dos vectores en 3D y produce un tercer vector perpendicular a ambos, con longitud igual al área del paralelogramo formado por los dos vectores originales. Para $u = (u_1,u_2,u_3)$ y $v = (v_1,v_2,v_3)$: $u \times v = (u_2v_3-u_3v_2, u_3v_1-u_1v_3, u_1v_2-u_2v_1)$, calculado mediante un determinante $3 \times 3$ con vectores unitarios $i, j, k$ en la primera fila; $|u \times v| = |u||v|\sin(\theta)$, con dirección dada por la regla de la mano derecha, y a diferencia del producto punto, el producto cruz no es conmutativo, $u \times v = -(v \times u)$. Es único en 3D (y 7D vía octoniones), y es el dual de Hodge del producto cuña, $u \times v = {*}(u \wedge v)$; el producto triple $u \cdot (v \times w)$ es igual al determinante de $[u,v,w]$ y da el volumen con signo del paralelepípedo generado por los tres vectores.
Example
Apunta dos dedos en direcciones distintas sobre la misma superficie plana: el producto cruz es un vector que sobresale hacia arriba, perpendicular a ambos, la dirección "normal" a la superficie, esencial en gráficos 3D para la iluminación. Por la regla de la mano derecha, $i \times j = k$, $j \times k = i$, $k \times i = j$; para $u=(1,0,0)$, $v=(0,1,0)$, $u \times v = (0,0,1) = k$, apuntando hacia arriba como se esperaba. En electromagnetismo, $F = q(v \times B)$ es la fuerza de Lorentz, el torque es $\tau = r \times F$, y el momento angular es $L = r \times p$, haciendo del producto cruz algo indispensable en la mecánica clásica y cuántica.
Key Insight
El producto cruz te da la dirección "normal" a una superficie plana definida por dos vectores, y el orden importa, intercambiar los dos vectores da la dirección opuesta. En geometría diferencial, el producto cruz se generaliza al producto exterior $\wedge$, que opera en cualquier dimensión y sustenta las formas diferenciales, el teorema de Stokes y el cálculo de la integración multivariable.