交叉相乘
jiāo chā xiāng chéng
交叉相乘是求解比例式的一种方法，把每个分数的分子乘以另一个分数的分母，并使两个乘积相等。
Formula
\text{if } \frac{a}{b} = \frac{c}{d}, \text{ then } ad = bc
Definition
交叉相乘是求解比例式的一种捷径：当两个分数相等时（$a/b = c/d$），你可以按对角线相乘，左上乘右下等于右上乘左下，这是一种只在两个分数被设为相等时才适用的"X"模式。形式上，这表示$a/b = c/d$当且仅当$ad = bc$（其中$b, d \neq 0$），可通过把等式$a/b = c/d$两边同乘以$bd$来证明；它可以求出比例式中的未知数，或比较两个分数（当$b, d > 0$时，$a/b < c/d$当且仅当$ad < bc$）。更抽象地说，交叉相乘是把域公理应用于清除分母，在任何域或消去律成立的整环中都成立，它也出现在代数簇之间有理映射的定义中。
Example
求解$3/4 = x/12$：交叉相乘得$3 \times 12 = 4 \times x$，所以$36 = 4x$，$x = 9$（验证：$3/4 = 9/12 = 3/4$）。比较$7/11$和$8/13$：$7 \times 13 = 91$，$11 \times 8 = 88$，由于$91 > 88$，所以$7/11 > 8/13$。清除分母也能求解有理方程：$1/(x-1) + 1/(x+1) = 4/(x^2-1)$，注意到$x^2-1 = (x-1)(x+1)$，两边同乘以该乘积得$(x+1) + (x-1) = 4$，所以$2x = 4$，$x = 2$（验证：$1/1 + 1/3 = 4/3$）。
Key Insight
交叉相乘通过一次性清除所有分母，把分数等式转化为更简单的乘法等式，它实际上就是"分母相同则比较"这一技巧的代数形式：把等式两边同乘以分母之积，把比例式转化为可用标准方法求解的线性方程。这种"清除分母"的原理有着更为广泛的应用，是部分分式分解、复分析中留数的计算，以及数值方法中有理插值的基础。