余切
yú qiē
余切是正切的倒数，定义为直角三角形中邻边与对边的比值。
Formula
\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)} = \frac{\text{adjacent}}{\text{opposite}} = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}
Definition
余切（记作 cot）是正切的倒数：$\cot(\theta) = \cos(\theta)/\sin(\theta) = \text{adjacent}/\text{opposite} = 1/\tan(\theta)$。当 $\sin(\theta) = 0$ 时它无定义，涉及余切的勾股恒等式 $1 + \cot^2(\theta) = \csc^2(\theta)$，是把 $\sin^2 + \cos^2 = 1$ 两边同除以 $\sin^2$ 得到的。余切的周期为 $\pi$，与正切相同，在 $\pi$ 的每个整数倍处都有极点，洛朗级数为 $\cot(x) = 1/x - x/3 - x^3/45 - 2x^5/945 - \ldots$
Example
如果 $\tan(45^\circ) = 1$，那么 $\cot(45^\circ) = 1/1 = 1$；而 $\cot(60^\circ) = \cos(60^\circ)/\sin(60^\circ) = (1/2)/(\sqrt{3}/2) = 1/\sqrt{3} = \sqrt{3}/3 \approx 0.577$。它的导数是 $d/dx[\cot(x)] = -\csc^2(x)$，$\cot(x)$ 的积分是 $\ln|\sin(x)| + C$。
Key Insight
余切就像是从三角形的另一侧看正切。欧拉的部分分式展开 $\cot(\pi x) = 1/x + \sum (1/(x-n) + 1/(x+n))$（对正整数 $n$ 求和），结合在 $x = 1/2$ 处求值，给出了一个证明 $\sum 1/n^2 = \pi^2/6$ 的优雅方法，从而解决了巴塞尔问题。