Cotangente
La cotangente es el recíproco de la tangente, definida como la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto en un triángulo rectángulo.
Formula
\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)} = \frac{\text{adjacent}}{\text{opposite}} = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}
Definition
La cotangente (escrita "cot") es el inverso de la tangente: $\cot(\theta) = \cos(\theta)/\sin(\theta) = \text{adjacent}/\text{opposite} = 1/\tan(\theta)$. No está definida cuando $\sin(\theta) = 0$, y la identidad pitagórica que involucra la cotangente, $1 + \cot^2(\theta) = \csc^2(\theta)$, viene de dividir $\sin^2 + \cos^2 = 1$ entre $\sin^2$. La cotangente tiene periodo $\pi$, igual que la tangente, con polos en cada múltiplo entero de $\pi$ y serie de Laurent $\cot(x) = 1/x - x/3 - x^3/45 - 2x^5/945 - \ldots$
Example
Si $\tan(45^\circ) = 1$, entonces $\cot(45^\circ) = 1/1 = 1$; y $\cot(60^\circ) = \cos(60^\circ)/\sin(60^\circ) = (1/2)/(\sqrt{3}/2) = 1/\sqrt{3} = \sqrt{3}/3 \approx 0.577$. Su derivada es $d/dx[\cot(x)] = -\csc^2(x)$, y la integral de $\cot(x) = \ln|\sin(x)| + C$.
Key Insight
La cotangente es como la tangente vista desde el otro lado del triángulo. La expansión en fracciones parciales de Euler $\cot(\pi x) = 1/x + \sum (1/(x-n) + 1/(x+n))$ sobre los enteros positivos $n$, combinada con evaluar en $x = 1/2$, ofrece una prueba elegante de que $\sum 1/n^2 = \pi^2/6$, resolviendo el problema de Basilea.