余弦
yú xián
余弦是一个三角函数，定义为直角三角形中邻边与斜边的比值。
Formula
\cos(\theta) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}
Definition
余弦（记作 cos）比较的是直角三角形的宽度与斜边长度的比值，回答的是斜边中有多大比例是横向延伸的。对于直角三角形中的角 $\theta$，$\cos(\theta) = \text{adjacent}/\text{hypotenuse}$；在单位圆上，$\cos(\theta)$ 等于终点的 $x$ 坐标，并且余弦是偶函数，$\cos(-\theta) = \cos(\theta)$。从分析学角度看，$\cos(x) = \text{Re}(e^{ix}) = \sum (-1)^n x^{2n} / (2n)!$，对所有 $x \in \mathbb{R}$ 都收敛，它是满足 $f''(x) = -f(x)$、$f(0) = 1$、$f'(0) = 0$ 的唯一解，周期为 $2\pi$，零点在 $\pi/2 + n\pi$ 处。
Example
含 $60^\circ$ 角、斜边为 $10$ 时，$\cos(60^\circ) = 0.5$，所以邻边 $= 0.5 \times 10 = 5$；而 $\cos(30^\circ) = \sqrt{3}/2 \approx 0.866$，因此对于与地面成 $30^\circ$ 角的斜坡，水平距离是斜坡长度的 $86.6\%$。用级数 $\cos(x) = 1 - x^2/2 + x^4/24 - x^6/720 + \ldots$ 的前两项，$\cos(0.1) \approx 0.995$，与真实值 $0.99500417$ 非常接近。
Key Insight
正弦度量"上下"，余弦度量"左右"：两者共同描述了圆上的每一点，$(\cos, \sin) = (\text{across}, \text{up})$，所以 $\cos(0) = 1$、$\cos(90^\circ) = 0$、$\cos(180^\circ) = -1$。余弦定理 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$ 是勾股定理的直接推广，当 $C = 90^\circ$ 时退化为勾股定理，余弦还出现在复数乘法的实部中。