余割
yú gē
余割是正弦的倒数，定义为直角三角形中斜边与对边的比值。
Formula
\csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)} = \frac{\text{hypotenuse}}{\text{opposite}}
Definition
余割（记作 csc）是正弦的倒数：$\csc(\theta) = 1/\sin(\theta) = \text{hypotenuse}/\text{opposite}$。当 $\sin(\theta) = 0$ 时（在 $0^\circ$、$180^\circ$、$360^\circ$ 处）它无定义，并且由于 $|\sin(\theta)| \le 1$，在所有有定义的值处都有 $|\csc(\theta)| \ge 1$，所以它永远不会落在 $-1$ 到 $1$ 之间。它的图像在 $\pi$ 的每个整数倍处都有以 $2\pi$ 为周期的极点，在 $x = 0$ 附近的洛朗展开为 $\csc(x) = 1/x + x/6 + 7x^3/360 + \ldots$。
Example
如果 $\sin(30^\circ) = 1/2$，那么 $\csc(30^\circ) = 1/(1/2) = 2$；而 $\csc(45^\circ) = 1/\sin(45^\circ) = 2/\sqrt{2} = \sqrt{2} \approx 1.414$。$\csc(x)$ 的积分为 $-\ln|\csc(x) + \cot(x)| + C$，这一结果用于对涉及 $\sqrt{1 - x^2}$ 的有理表达式进行积分。
Key Insight
余割的图像在竖直渐近线之间形成 U 形曲线；正弦达到最大值 $1$ 的地方，余割恰好达到最小值 $1$，两者在这些点相接触。魏尔斯特拉斯乘积公式 $\sin(x) = x \prod (1 - x^2/(n^2\pi^2))$（对 $n \ge 1$ 求积）蕴含了余割的部分分式（米塔-列夫勒）展开，$\csc(\pi x) = 1/(\pi x) + \sum (2x(-1)^n / (\pi(x^2 - n^2)))$，将余割与复分析以及关于极点的部分分式理论联系起来。