Cosecante
La cosecante es el recíproco del seno, definida como la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto en un triángulo rectángulo.
Formula
\csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)} = \frac{\text{hypotenuse}}{\text{opposite}}
Definition
La cosecante (escrita "csc") es el inverso del seno: $\csc(\theta) = 1/\sin(\theta) = \text{hypotenuse}/\text{opposite}$. No está definida cuando $\sin(\theta) = 0$ (en $0^\circ$, $180^\circ$, $360^\circ$), y como $|\sin(\theta)| \le 1$, se tiene $|\csc(\theta)| \ge 1$ para todos los valores definidos, así que nunca puede caer entre $-1$ y $1$. Su gráfica tiene polos periódicos de $2\pi$ en cada múltiplo entero de $\pi$, con desarrollo de Laurent $\csc(x) = 1/x + x/6 + 7x^3/360 + \ldots$ cerca de $x = 0$.
Example
Si $\sin(30^\circ) = 1/2$, entonces $\csc(30^\circ) = 1/(1/2) = 2$; y $\csc(45^\circ) = 1/\sin(45^\circ) = 2/\sqrt{2} = \sqrt{2} \approx 1.414$. La integral de $\csc(x) = -\ln|\csc(x) + \cot(x)| + C$, un resultado usado al integrar expresiones racionales que involucran $\sqrt{1 - x^2}$.
Key Insight
La gráfica de la cosecante forma curvas en forma de U entre asíntotas verticales; donde el seno alcanza su máximo de $1$, la cosecante alcanza su mínimo de $1$, y se tocan en esos puntos. El producto de Weierstrass $\sin(x) = x \prod (1 - x^2/(n^2\pi^2))$ para $n \ge 1$ implica una expansión en fracciones parciales (Mittag-Leffler) para la cosecante, $\csc(\pi x) = 1/(\pi x) + \sum (2x(-1)^n / (\pi(x^2 - n^2)))$, conectando la cosecante con el análisis complejo y la teoría de fracciones parciales sobre polos.