相关性
xiāng guān xìng
相关性衡量两个定量变量之间线性关系的强弱和方向。
Definition
相关性描述两个事物之间的关联方式：如果它们倾向于一起增加，相关性为正；如果一个增加而另一个减少，相关性为负；如果没有规律，相关性接近于零。它是衡量两个定量变量之间线性关系强度和方向的统计量，范围从 -1（完全负线性关系）到 +1（完全正线性关系），0 表示没有线性关系，且它无法衡量非线性关联。形式上，皮尔逊相关系数 $\rho = \text{Cov}(X,Y)/(\sigma_X\sigma_Y) = E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]/(\sigma_X\sigma_Y)$ 是总体相关系数，由样本皮尔逊 $r$ 估计；斯皮尔曼秩相关和肯德尔 $\tau$ 是非参数替代方案，能衡量单调（而不仅仅是线性）关联。
Example
气温和冰淇淋销量呈正相关（气温越高的日子销量往往越高），而气温和热巧克力销量呈负相关（气温越低销量越高）。学习时间和 GPA 之间存在中等程度的正相关（$r \approx 0.5$-$0.7$），而鞋码和智力之间的相关性大约为零。检验 $H_0: \rho = 0$ 使用统计量 $t = r\sqrt{n-2}/\sqrt{1-r^2}$，在原假设下服从自由度为 $n-2$ 的 t 分布；对于 $n=30$、$r=0.4$，$t = 0.4\sqrt{28}/\sqrt{0.84} = 2.31$，在 $\alpha=0.05$ 下显著。
Key Insight
相关性只衡量关系，而不说明谁导致了谁：两件事可能只是偶然相关，或者是因为它们都由第三个因素引起，就像冰淇淋销量和溺水率一样，二者都在夏天上升，但并非一个导致了另一个。相关性在 $X$ 和 $Y$ 的线性变换下保持不变，但在非线性变换下并非如此，两个具有相同皮尔逊 $r$ 的变量可能有截然不同的散点图形状（参见安斯库姆四重奏），这再次说明了在数值摘要之外进行图形检验的必要性。