Correlación
La correlación mide la fuerza y la dirección de la relación lineal entre dos variables cuantitativas.
Definition
La correlación describe cómo se relacionan dos cosas: si tienden a aumentar juntas, la correlación es positiva; si una aumenta mientras la otra disminuye, es negativa; si no hay patrón, está cerca de cero. Es una medida estadística de la fuerza y dirección de la relación lineal entre dos variables cuantitativas, que va de -1 (relación lineal negativa perfecta) a +1 (relación lineal positiva perfecta), con 0 indicando ninguna relación lineal, y no mide asociaciones no lineales. Formalmente, la correlación de Pearson $\rho = \text{Cov}(X,Y)/(\sigma_X\sigma_Y) = E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]/(\sigma_X\sigma_Y)$ es la correlación poblacional, estimada por el Pearson muestral $r$; la correlación de rangos de Spearman y la tau de Kendall son alternativas no paramétricas que miden asociaciones monótonas (no solo lineales).
Example
La temperatura y las ventas de helado están correlacionadas positivamente (los días más calurosos tienden a tener más ventas), mientras que la temperatura y las ventas de chocolate caliente están correlacionadas negativamente (los días más fríos tienen más ventas). Las horas de estudio y el promedio (GPA) tienen una correlación positiva moderada ($r \approx 0.5$-$0.7$), mientras que la talla de zapato y la inteligencia tienen una correlación aproximadamente cero. Probar $H_0: \rho = 0$ usa el estadístico $t = r\sqrt{n-2}/\sqrt{1-r^2}$, que sigue una distribución t con $n-2$ grados de libertad bajo la nula; para $n=30$ y $r=0.4$, $t = 0.4\sqrt{28}/\sqrt{0.84} = 2.31$, significativo a $\alpha=0.05$.
Key Insight
La correlación solo mide la relación, no qué causa qué: dos cosas pueden estar correlacionadas por accidente o porque ambas son causadas por un tercer factor, como las ventas de helado y las tasas de ahogamiento, que ambas suben en el verano sin que una cause la otra. La correlación es invariante bajo transformaciones lineales de $X$ y $Y$ pero no bajo transformaciones no lineales, y dos variables con Pearson $r$ idéntico pueden tener formas de diagrama de dispersión muy diferentes (ver el cuarteto de Anscombe), reforzando la necesidad de la inspección visual junto con los resúmenes numéricos.