相关系数
xiāng guān xì shù
相关系数（r）是一个介于 -1 和 1 之间的数值，用来量化两个变量之间线性关系的强弱和方向。
Formula
r = \dfrac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i-\bar{x})^2 \sum (y_i-\bar{y})^2}}
Definition
相关系数是一个从 -1 到 +1 的数值，用来衡量两个变量之间关系的强弱：接近 +1 表示强正相关，接近 -1 表示强负相关，接近 0 表示几乎没有关系。皮尔逊相关系数 $r$ 衡量两个定量变量之间线性关系的强弱和方向，$r^2$（决定系数）表示 $y$ 的方差中能被 $x$ 解释的比例。形式上，$r = \text{Cov}(X,Y)/(s_X s_Y)$，由样本数据计算得出；在原假设 $H_0: \rho = 0$ 下，统计量 $t = r\sqrt{n-2}/\sqrt{1-r^2} \sim t(n-2)$，费舍尔 z 变换 $z = 0.5\ln\left(\frac{1+r}{1-r}\right)$ 将 $r$ 转换为近似正态的统计量，从而支持对 $\rho$ 构造置信区间。
Example
$r = 0.9$ 表示非常强的正相关关系（几乎是一条向上的直线）；$r = -0.6$ 表示中等程度的负相关关系；$r = 0.1$ 表示几乎没有关系。对于 $10$ 名学生的学习时间（$x$）和测验分数（$y$），如果 $r = 0.85$，则 $r^2 = 0.72$：学习时间解释了测验分数 $72\%$ 的变异。费舍尔 z 区间对 $\rho$ 的表达为 $z_r \pm z_{\alpha/2}/\sqrt{n-3}$，然后再反变换回来；对于 $r=0.7$，$n=50$：$z_r = 0.867$，在 z 空间中的 $95\%$ 置信区间为 $0.867 \pm 1.96/\sqrt{47} = (0.581, 1.153)$，反变换后得到 $\rho$ 的置信区间为 $(0.524, 0.818)$。
Key Insight
可以把相关系数看作一个"关系得分"：越接近 1 或 -1，关系越紧密，越接近 0，关系越弱；一种常见的解释是 $|r| < 0.3$ 为弱，$0.3$-$0.7$ 为中等，$> 0.7$ 为强，不过这些阈值会因具体情境而异。相关系数对异常值敏感，且只捕捉线性关系；斯皮尔曼秩相关 $r_s$ 和肯德尔 $\tau$ 是非参数替代方案，能衡量单调关系，对异常值和非正态性更为稳健。