Coeficiente de Correlación
El coeficiente de correlación (r) es un número entre -1 y 1 que cuantifica la fuerza y la dirección de la relación lineal entre dos variables.
Formula
r = \dfrac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i-\bar{x})^2 \sum (y_i-\bar{y})^2}}
Definition
El coeficiente de correlación es un número de -1 a +1 que mide qué tan fuertemente están relacionadas dos variables: un valor cercano a +1 significa una relación positiva fuerte, cercano a -1 significa una relación negativa fuerte, y cercano a 0 significa poca relación. El coeficiente de correlación de Pearson $r$ mide la fuerza y dirección de la relación lineal entre dos variables cuantitativas, y el valor $r^2$ (coeficiente de determinación) indica la proporción de la varianza en $y$ explicada por $x$. Formalmente, $r = \text{Cov}(X,Y)/(s_X s_Y)$, calculado a partir de datos muestrales; bajo $H_0: \rho = 0$, el estadístico $t = r\sqrt{n-2}/\sqrt{1-r^2} \sim t(n-2)$, y la transformación z de Fisher $z = 0.5\ln\left(\frac{1+r}{1-r}\right)$ transforma $r$ en un estadístico aproximadamente normal, permitiendo intervalos de confianza para $\rho$.
Example
$r = 0.9$ significa una relación positiva muy fuerte (casi una línea recta ascendente); $r = -0.6$ significa una relación negativa moderada; $r = 0.1$ significa casi ninguna relación. Para las horas de estudio ($x$) y las calificaciones de examen ($y$) de $10$ estudiantes, si $r = 0.85$, entonces $r^2 = 0.72$: las horas de estudio explican $72\%$ de la variación en las calificaciones de examen. El intervalo z de Fisher para $\rho$ es $z_r \pm z_{\alpha/2}/\sqrt{n-3}$, luego se transforma de vuelta; para $r=0.7$, $n=50$: $z_r = 0.867$, dando un IC del $95\%$ en el espacio z de $0.867 \pm 1.96/\sqrt{47} = (0.581, 1.153)$, que al transformarse de vuelta da $\rho$ en $(0.524, 0.818)$.
Key Insight
Piensa en el coeficiente de correlación como un "puntaje de relación": cuanto más cerca de 1 o -1, más estrecha la relación, cuanto más cerca de 0, más débil; una interpretación común es que $|r| < 0.3$ es débil, $0.3$-$0.7$ es moderada, y $> 0.7$ es fuerte, aunque estos umbrales dependen del contexto. El coeficiente de correlación es sensible a los valores atípicos y captura solo relaciones lineales; la correlación de rangos de Spearman $r_s$ y la tau de Kendall son alternativas no paramétricas que miden relaciones monótonas y son más robustas a los valores atípicos y la no normalidad.