共面
gòng miàn
共面的点或直线是都位于同一个平面内的点或直线。
Definition
共面的意思是"在同一个平面上"：如果一些点或直线都能放在同一个平坦表面上，就像都在同一张纸上一样，那么它们就是共面的(任意三点总是共面的，所以需要四点或更多点才可能出现不共面的情形)。严格来说，$\mathbb{R}^3$ 中的点 $P_1, \ldots, P_n$ 共面，当且仅当向量 $(P_2-P_1), (P_3-P_1), (P_4-P_1)$ 线性相关，即 $3 \times 3$ 行列式 $\det([P_2-P_1, P_3-P_1, P_4-P_1]) = 0$，等价地标量三重积 $(P_2-P_1) \cdot [(P_3-P_1) \times (P_4-P_1)] = 0$，或更一般地，位移向量矩阵的秩至多为 $2$。
Example
一个矩形的所有顶点都是共面的，但纸面上方悬浮的一个点与其他点并不共面。正方形的四个顶点是共面的，而四面体(三棱锥)的四个顶点则不共面，尽管其中任意三个顶点总是共面的。
Key Insight
共面性在三维几何中很重要：两条共面的直线要么相交，要么平行，而两条不共面的直线称为异面直线，它们既不相交也不平行。不共面的点定义了最简单的三维图形，四面体，在线性代数中，共面性等价于位移向量的线性相关性，这将这个几何概念与矩阵的秩直接联系了起来。