Coplanar
Los puntos o rectas coplanares son aquellos que están todos dentro del mismo plano.
Definition
Coplanar significa "en el mismo plano": puntos o rectas son coplanares si todos caben en la misma superficie plana, como estar todos en una sola hoja de papel (tres puntos cualesquiera siempre son coplanares, así que se necesitan cuatro o más para posiblemente no serlo). Formalmente, los puntos $P_1, \ldots, P_n$ en $\mathbb{R}^3$ son coplanares si y solo si los vectores $(P_2-P_1), (P_3-P_1), (P_4-P_1)$ son linealmente dependientes, es decir, el determinante $3 \times 3$ $\det([P_2-P_1, P_3-P_1, P_4-P_1]) = 0$, equivalentemente el producto triple escalar $(P_2-P_1) \cdot [(P_3-P_1) \times (P_4-P_1)] = 0$, o más en general el rango de la matriz de vectores de desplazamiento es a lo sumo $2$.
Example
Todas las esquinas de un rectángulo son coplanares, pero un punto flotando encima del papel no es coplanar con las demás. Los cuatro vértices de un cuadrado son coplanares, mientras que los cuatro vértices de un tetraedro (pirámide triangular) no lo son, aunque tres cualesquiera de sus vértices siempre son coplanares.
Key Insight
La coplanaridad importa en la geometría 3D: dos rectas coplanares se intersecan o son paralelas, mientras que dos rectas que no son coplanares se llaman rectas alabeadas (o cruzadas), no se intersecan ni son paralelas. Los puntos no coplanares definen la figura 3D más simple, el tetraedro, y en álgebra lineal la coplanaridad equivale a la dependencia lineal de los vectores de desplazamiento, vinculando directamente esta idea geométrica con el rango de una matriz.