坐标平面
zuò biāo píng miàn
坐标平面是由水平的x轴和竖直的y轴相交于原点所构成的二维平面，用于确定点的位置。
Definition
坐标平面是由两条相互垂直的数轴构成的平面网格，水平的x轴与竖直的y轴，两者相交于原点 $(0,0)$，把平面分成四个象限；每个点都有一个称为有序数对 $(x, y)$ 的地址。严格地说，笛卡尔平面是 $\mathbb{R}^2$，即所有实数有序对的集合，配备标准的欧几里得度量 $d((x_1,y_1),(x_2,y_2)) = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$；它是一个完备度量空间，一个 $\mathbb{R}$ 上的向量空间，也是欧几里得平面几何的基本场所。$\mathbb{R}^2$ 上的线性变换（旋转、反射、缩放）由 $2 \times 2$ 矩阵表示，变换的复合对应于矩阵乘法。
Example
想象一张城市地图，街道呈东西走向，大道呈南北走向：要找到点 $(3, 4)$，从中心向右走 $3$ 格，再向上走 $4$ 格。方程 $y = 2x + 1$ 可以通过描点来作图，比如 $(0,1)$、$(1,3)$、$(2,5)$、$(-1,-1)$，展示了满足该方程的所有 $(x, y)$ 数对，把代数与视觉几何联系了起来。
Key Insight
坐标平面是由笛卡尔发明的，这也是它被称为"笛卡尔平面"的原因；在笛卡尔之前，代数和几何是完全分离的领域，而现在每一种几何图形都可以用方程描述，每一个方程也都可以被赋予直观的形状。坐标平面是流形（一种局部欧几里得的空间）的一个特例，它向 $n$ 维空间（$\mathbb{R}^n$）以及弯曲空间（黎曼流形）的推广，是微分几何和广义相对论的基础。