Plano Cartesiano
El plano cartesiano es una superficie bidimensional formada por un eje x horizontal y un eje y vertical que se cruzan en el origen, usada para ubicar puntos.
Definition
El plano cartesiano es una cuadrícula plana formada por dos rectas numéricas que se cruzan en ángulo recto, el eje x horizontal y el eje y vertical, que se encuentran en el origen $(0,0)$ y dividen el plano en cuatro cuadrantes; cada punto tiene una "dirección" llamada par ordenado $(x, y)$. Formalmente, el plano cartesiano es $\mathbb{R}^2$, el conjunto de todos los pares ordenados de números reales, dotado de la métrica euclidiana estándar $d((x_1,y_1),(x_2,y_2)) = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$; es un espacio métrico completo, un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$, y el marco fundamental de la geometría euclidiana plana. Las transformaciones lineales de $\mathbb{R}^2$ (rotaciones, reflexiones, escalamientos) se representan mediante matrices $2 \times 2$, y la composición de transformaciones corresponde a la multiplicación de matrices.
Example
Piensa en un mapa de una ciudad donde las calles van de este a oeste y las avenidas de norte a sur: para hallar el punto $(3, 4)$ te desplazas $3$ espacios a la derecha y $4$ espacios hacia arriba desde el centro. La ecuación $y = 2x + 1$ puede graficarse ubicando puntos como $(0,1)$, $(1,3)$, $(2,5)$, $(-1,-1)$, mostrando todos los pares $(x, y)$ que satisfacen la ecuación y conectando el álgebra con la geometría visual.
Key Insight
El plano cartesiano fue inventado por René Descartes, razón por la cual también se llama plano cartesiano; antes de Descartes, el álgebra y la geometría eran campos completamente separados, y ahora toda figura geométrica puede describirse con ecuaciones mientras que toda ecuación puede recibir una forma visual. El plano cartesiano es un caso especial de una variedad (manifold), un espacio que es localmente euclidiano, y su generalización a $n$ dimensiones ($\mathbb{R}^n$) y a espacios curvos (variedades de Riemann) es la base de la geometría diferencial y la relatividad general.