坐标对
zuò biāo duì
坐标对（也称有序数对）是一对数 (x, y)，用来确定坐标平面上一个唯一的位置。
Formula
(x, y)
Definition
坐标对，也称有序数对，是写在括号中、用逗号分隔的两个数 $(x, y)$，用来在笛卡尔平面上定位一个点：第一个数（$x$ 值，即横坐标）告诉你向左或向右移动多远，第二个数（$y$ 值，即纵坐标）告诉你向上或向下移动多远，以原点 $(0, 0)$ 作为参考点。严格地说，在集合论中，有序对 $(a, b)$ 被定义为 $\{\{a\}, \{a, b\}\}$（库拉托夫斯基定义），这保证了当 $a \neq b$ 时 $(a, b) \neq (b, a)$；笛卡尔积 $A \times B = \{(a, b) \mid a \in A, b \in B\}$ 把这一概念推广到 $n$ 元组，也是把函数定义为有序对集合的基础。
Example
坐标对 $(3, 5)$ 表示：从原点出发，向右移动 $3$ 个单位，再向上移动 $5$ 个单位。$y = 3x$ 的解对包括 $(0, 0)$、$(1, 3)$、$(2, 6)$ 和 $(-1, -3)$，每一个都是该方程图像上的一点。函数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 可以定义为有序对集合 $\{(x, f(x)) \mid x \in \mathbb{R}\}$；对于 $f(x) = x^2$，这就是 $\{(x, x^2) \mid x \in \mathbb{R}\}$，也就是 $\mathbb{R}^2$ 中的一条抛物线。
Key Insight
顺序很重要：$(3, 5)$ 与 $(5, 3)$ 是不同的位置，就像"三楼五号房"与"五楼三号房"是不同的地方一样。每一个二元方程都对应一组坐标对，把它们描出来就形成一条曲线；而通过集合来定义有序对，使得整个数学，函数、关系、笛卡尔积等等，都能仅仅由集合构建出来。