Par Coordenado
Un par coordenado (también llamado par ordenado) es un par de números (x, y) que especifica una ubicación única en el plano cartesiano.
Formula
(x, y)
Definition
Un par coordenado, también llamado par ordenado, son dos números escritos entre paréntesis y separados por una coma, $(x, y)$, que ubican un punto en el plano cartesiano: el primer número (el valor de $x$, o abscisa) indica cuánto moverse a la izquierda o a la derecha, y el segundo (el valor de $y$, u ordenada) indica cuánto moverse hacia arriba o hacia abajo, con el origen $(0, 0)$ como punto de referencia. Formalmente, un par ordenado $(a, b)$ se define en teoría de conjuntos como $\{\{a\}, \{a, b\}\}$ (la definición de Kuratowski), lo que asegura que $(a, b) \neq (b, a)$ cuando $a \neq b$; el producto cartesiano $A \times B = \{(a, b) \mid a \in A, b \in B\}$ generaliza esto a $n$-tuplas y es la base para definir las funciones como conjuntos de pares ordenados.
Example
El par coordenado $(3, 5)$ significa: comienza en el origen, muévete $3$ unidades a la derecha, luego $5$ unidades hacia arriba. Los pares solución de $y = 3x$ incluyen $(0, 0)$, $(1, 3)$, $(2, 6)$, y $(-1, -3)$, cada uno un punto en la gráfica de la ecuación. Una función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ se puede definir como el conjunto de pares ordenados $\{(x, f(x)) \mid x \in \mathbb{R}\}$; para $f(x) = x^2$, esto es $\{(x, x^2) \mid x \in \mathbb{R}\}$, una parábola en $\mathbb{R}^2$.
Key Insight
El orden importa: $(3, 5)$ es una ubicación diferente a $(5, 3)$, tal como "3er piso, cuarto 5" es un lugar diferente a "5to piso, cuarto 3". Toda ecuación de dos variables corresponde a un conjunto de pares coordenados que, al graficarlos, forman una curva, y definir los pares ordenados mediante conjuntos permite que toda la matemática, funciones, relaciones, productos cartesianos, y más, se construya únicamente a partir de conjuntos.