逆命题
nì mìng tí
"若 P,则 Q"的逆命题是"若 Q,则 P",它交换了假设与结论,即使原命题为真,逆命题也不一定为真。
Formula
\text{Converse of } P \to Q \text{ is } Q \to P
Definition
条件命题的逆命题把"若"与"则"两部分互换。严格地说，$P \to Q$ 的逆命题是 $Q \to P$；一个命题与它的逆命题在逻辑上是相互独立的，所以可能一个为真而另一个为假，也可能两者都真或都假，当两者都真时，我们记作 $P \leftrightarrow Q$（双条件命题）。逆命题 $Q \to P$ 与逆否命题（原命题的否命题的逆，即 $\neg P \to \neg Q$）具有相同的真值（它们彼此逻辑等价），而 $P \to Q$ 的逆否命题 $\neg Q \to \neg P$ 与原命题逻辑等价；这四种形式及其等价关系是命题逻辑的基础。
Example
"如果下雨，那么地面是湿的"的逆命题是"如果地面是湿的，那么下雨了"，这可能为假，因为地面可能是因为洒水器而湿的。"如果一个数能被 $4$ 整除，那么它能被 $2$ 整除"为真，但它的逆命题"如果能被 $2$ 整除，那么能被 $4$ 整除"为假（$6$ 能被 $2$ 整除，但不能被 $4$ 整除）。"如果 $f$ 可导，那么 $f$ 连续"为真，但它的逆命题"如果 $f$ 连续，那么 $f$ 可导"为假，因为 $f(x) = |x|$ 连续，但在 $0$ 处不可导。
Key Insight
逆命题听起来与原命题相关，但在逻辑上是完全不同的命题；不要仅仅因为原命题为真就假设逆命题也为真。错误地假设逆命题为真被称为"肯定后件"，是日常推理中最常见的逻辑谬误之一。刻画性定理（"当且仅当"定理）同时证明一个命题及其逆命题，给出对某个数学概念可能达到的最深刻理解。