Recíproco
El recíproco de "Si P, entonces Q" es "Si Q, entonces P", que intercambia la hipótesis y la conclusión y no siempre es verdadero cuando el original lo es.
Formula
\text{Converse of } P \to Q \text{ is } Q \to P
Definition
El recíproco de un enunciado condicional invierte las partes del "si" y del "entonces." Formalmente, el recíproco de $P \to Q$ es $Q \to P$; un enunciado y su recíproco son lógicamente independientes, así que uno puede ser verdadero mientras el otro es falso, ambos pueden ser verdaderos, o ambos falsos, y cuando ambos son verdaderos escribimos $P \leftrightarrow Q$ (bicondicional). El recíproco $Q \to P$ tiene el mismo valor de verdad que el inverso $\neg P \to \neg Q$ (son lógicamente equivalentes entre sí), mientras que el contrapositivo $\neg Q \to \neg P$ es lógicamente equivalente al original $P \to Q$; estas cuatro formas y sus equivalencias son fundamentales en la lógica proposicional.
Example
"Si está lloviendo, entonces el suelo está mojado" tiene el recíproco "Si el suelo está mojado, entonces está lloviendo," el cual puede ser falso ya que el suelo podría estar mojado por un aspersor. "Si un número es divisible por $4$, entonces es divisible por $2$" es verdadero, pero su recíproco, "Si es divisible por $2$, entonces es divisible por $4$," es falso ($6$ es divisible por $2$ pero no por $4$). "Si $f$ es diferenciable, entonces $f$ es continua" es verdadero, pero su recíproco, "Si $f$ es continua, entonces $f$ es diferenciable," es falso, ya que $f(x) = |x|$ es continua pero no diferenciable en $0$.
Key Insight
El recíproco suena relacionado con el original pero es lógicamente un enunciado completamente distinto; no asumas que el recíproco es verdadero solo porque el original lo es. Asumir erróneamente que el recíproco es verdadero se llama "afirmar el consecuente," una de las falacias lógicas más comunes en el razonamiento cotidiano. Los teoremas de caracterización (teoremas "si y solo si") demuestran simultáneamente un enunciado y su recíproco, dando la comprensión más profunda posible de un concepto matemático.