勾股定理的逆定理
gōu gǔ dìng lǐ de nì dìng lǐ
勾股定理的逆定理指出，如果一个三角形三边满足 $a^2 + b^2 = c^2$，那么这个三角形就是直角三角形。
Formula
\text{If } a^2 + b^2 = c^2 \text{, then the triangle is a right triangle}
Definition
勾股定理的逆定理指出，如果三角形的三条边满足 $a^2 + b^2 = c^2$（$c$ 最长），那么这个三角形必定在 $c$ 的对角处有一个直角；如果 $a^2 + b^2 > c^2$，三角形是锐角三角形，如果 $a^2 + b^2 < c^2$，则是钝角三角形。它可以用 SSS 全等判定证明：构造两条直角边为 $a$、$b$ 的直角三角形，其斜边为 $\sqrt{a^2+b^2} = c$，由 SSS 可知它与原三角形全等。这一结果在非欧几里得几何中不成立。
Example
边长 $5$、$12$、$13$：$5^2 + 12^2 = 169 = 13^2$，印证了这是直角三角形，这也是木匠用来检验直角的 $3$-$4$-$5$ 法则的依据。边长 $7$、$9$、$12$：$7^2 + 9^2 = 130$，而 $12^2 = 144$，由于 $130 < 144$，这个三角形是钝角三角形。在球面几何中，一个顶点位于单位球面上 $(1,0,0)$、$(0,1,0)$、$(0,0,1)$ 的三角形有三个直角，且三边相等，均为 $\pi/2$，然而 $(\pi/2)^2 + (\pi/2)^2 \neq (\pi/2)^2$，因此欧几里得逆定理在这里不成立。
Key Insight
余弦定理 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$ 把这三种情形都联系了起来：当 $C = 90^\circ$ 时，$\cos(C) = 0$，我们便还原出勾股定理，而 $a^2 + b^2 - c^2$ 的符号则告诉我们 $C$ 是 $90^\circ$、锐角还是钝角。逆定理在非欧几里得几何中的失效，正是勾股定理等价于平行公设的原因；任何满足所有直角三角形都有 $a^2 + b^2 = c^2$ 的几何，必定是欧几里得平直几何。