Recíproco del Teorema de Pitágoras
El recíproco del teorema de Pitágoras establece que si $a^2 + b^2 = c^2$ para los tres lados de un triángulo, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo.
Formula
\text{If } a^2 + b^2 = c^2 \text{, then the triangle is a right triangle}
Definition
El recíproco del teorema de Pitágoras dice que si tres lados de un triángulo satisfacen $a^2 + b^2 = c^2$ (con $c$ el mayor), el triángulo debe tener un ángulo recto opuesto a $c$; si $a^2 + b^2 > c^2$, el triángulo es acutángulo, y si $a^2 + b^2 < c^2$, es obtusángulo. Se demuestra mediante el criterio de congruencia LLL: construir un triángulo rectángulo con catetos $a$, $b$ da una hipotenusa $\sqrt{a^2+b^2} = c$ por construcción, así que LLL da congruencia con el triángulo original. El resultado falla en geometría no euclidiana.
Example
Lados $5$, $12$, $13$: $5^2 + 12^2 = 169 = 13^2$, confirmando un triángulo rectángulo, la base de la regla del carpintero $3$-$4$-$5$ para verificar ángulos rectos. Lados $7$, $9$, $12$: $7^2 + 9^2 = 130$ frente a $12^2 = 144$, y como $130 < 144$, el triángulo es obtusángulo. En geometría esférica, un triángulo con vértices en $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$ sobre la esfera unitaria tiene tres ángulos rectos y lados iguales de $\pi/2$, sin embargo $(\pi/2)^2 + (\pi/2)^2 \neq (\pi/2)^2$, así que el recíproco euclidiano falla ahí.
Key Insight
La ley de cosenos, $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$, conecta los tres casos: cuando $C = 90^\circ$, $\cos(C) = 0$ y recuperamos el teorema de Pitágoras, y el signo de $a^2 + b^2 - c^2$ nos dice si $C$ es $90^\circ$, agudo u obtuso. El fallo del recíproco en geometría no euclidiana es precisamente lo que hace que el teorema de Pitágoras sea equivalente al postulado de las paralelas; cualquier geometría que satisfaga $a^2 + b^2 = c^2$ para todos los triángulos rectángulos debe ser geometría euclidiana plana.