逆否命题
nì fǒu mìng tí
"若 P,则 Q"的逆否命题是"若非 Q,则非 P",它在逻辑上与原命题等价。
Formula
\text{Contrapositive of } P \to Q \text{ is } \neg Q \to \neg P
Definition
"若 P，则 Q"的逆否命题是"若非 Q，则非 P"：把两部分都否定，并交换顺序。严格地说，$P \to Q$ 的逆否命题是 $\neg Q \to \neg P$，它与 $P \to Q$ 逻辑等价（在经典命题逻辑下真值表相同），这使得反证式的逆否证明成为一种有效的技巧：要证明 $P \to Q$，可以假设 $\neg Q$，然后证明 $\neg P$。然而在直觉主义逻辑中，这种等价关系一般不成立，逆否命题比原命题更弱，因为经典的等价关系依赖于排中律，而构造性数学拒绝这一原理。
Example
"如果下雨，地面就是湿的"，其同样为真的逆否命题是"如果地面不湿，那么没有下雨"。用逆否法证明"如果 $n^2$ 是偶数，那么 $n$ 是偶数"，意味着证明"如果 $n$ 是奇数，那么 $n^2$ 是奇数"：若 $n = 2k+1$，则 $n^2 = 4k^2+4k+1 = 2(2k^2+2k)+1$，是奇数。经典的 $\sqrt{2}$ 是无理数的证明用到了这一技巧：假设 $\sqrt{2} = p/q$ 是最简分数，通过对 $2 = p^2/q^2$ 的奇偶性论证导出矛盾。
Key Insight
逆否命题始终与原命题逻辑等价，所以当原命题的形式难以直接处理时，证明逆否命题是一种强有力的策略；它在数论和分析学中尤其有用，因为"非 Q"的假设常常带来具体的代数后果。构造性（直觉主义）数学拒绝排中律，把原命题及其逆否命题视为两个不同的待证目标。