Contrapositivo
El contrapositivo de "Si P, entonces Q" es "Si no Q, entonces no P", el cual es lógicamente equivalente al enunciado original.
Formula
\text{Contrapositive of } P \to Q \text{ is } \neg Q \to \neg P
Definition
El contrapositivo de "Si P, entonces Q" es "Si no Q, entonces no P": niegas ambas partes e inviertes el orden. Formalmente, el contrapositivo de $P \to Q$ es $\neg Q \to \neg P$, y es lógicamente equivalente a $P \to Q$ (misma tabla de verdad según la lógica proposicional clásica), haciendo que la demostración por contrapositivo sea una técnica válida: para demostrar $P \to Q$, asume $\neg Q$ y demuestra $\neg P$. En la lógica intuicionista, sin embargo, esta equivalencia no se cumple en general, el contrapositivo es más débil que el original, ya que la equivalencia clásica depende de la ley del tercero excluido, que la matemática constructiva rechaza.
Example
"Si llueve, el suelo está mojado" tiene el contrapositivo igualmente verdadero "Si el suelo no está mojado, entonces no llovió." Demostrar "Si $n^2$ es par, entonces $n$ es par" por contrapositivo significa demostrar "Si $n$ es impar, entonces $n^2$ es impar": si $n = 2k+1$, entonces $n^2 = 4k^2+4k+1 = 2(2k^2+2k)+1$, que es impar. La demostración clásica de que $\sqrt{2}$ es irracional usa esta técnica: suponer $\sqrt{2} = p/q$ en su mínima expresión lleva a una contradicción mediante un argumento de paridad sobre $2 = p^2/q^2$.
Key Insight
El contrapositivo siempre es lógicamente equivalente al original, así que demostrar el contrapositivo es una estrategia poderosa cuando la forma original es difícil de manejar directamente; es especialmente útil en teoría de números y análisis, donde la suposición "no Q" a menudo tiene consecuencias algebraicas concretas. La matemática constructiva (intuicionista), que rechaza la ley del tercero excluido, trata al original y a su contrapositivo como obligaciones de demostración distintas.