连续数据
lián xù shù jù
连续数据可以取某个范围内的任意值，包括小数和分数，例如身高或温度。
Definition
连续数据可以是某个范围内的任意值，包括小数；它是被测量的，而不是被数出来的，并且总能变得更加精确。它可以取实数轴上某个区间（或若干区间的并集）内的任意值，由于可能取值的数量不可数，单个取值的概率为零，因此概率是在区间上计算的。形式上，连续随机变量 $X$ 有一个概率密度函数 $f(x)$，使得 $P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx$，满足 $f(x) \ge 0$ 且积分总和为 $1$；主要的连续分布包括正态分布、指数分布、均匀分布、贝塔分布、伽马分布和卡方分布，累积分布函数 $F(x) = P(X \le x)$ 是绝对连续的。
Example
一个人的身高可能是 $5.3$ 英尺，或更精确地说是 $5.28$ 英尺，甚至 $5.279$ 英尺；温度、体重和时间都是连续的。一名跑者完成比赛所用的时间可能是 $27.3$ 秒、$27.31$ 秒或 $27.314$ 秒，样本空间是区间 $[0, \infty)$，用直方图展示，并用正态分布或指数分布建模。若 $X \sim \text{Normal}(\mu=0, \sigma=1)$，则 $P(-1 \le X \le 1) = \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}\,dx$，约等于 $0.6827$，这正是经验法则背后的数值。
Key Insight
连续数据存在于一条没有间隙的数轴上：你总能放大并在任意两个测量值之间找到一个新的值，连续随机变量由概率密度函数（PDF）描述，某个取值范围的概率等于 PDF 曲线在该范围上方的面积。离散分布与连续分布之间的关系（例如二项分布通过中心极限定理收敛到正态分布，几何分布在极限下收敛到指数分布）揭示了概率世界中深刻的联系。