相容方程组
xiāng róng fāng chéng zǔ
相容方程组至少有一个解，即存在某组变量取值能使各方程同时成立。
Definition
相容方程组至少有一个解，也就是说存在某组变量取值能使所有方程同时成立。画在图上时，相容方程组的直线要么恰好相交于一点（独立），要么完全重合（相关，有无穷多个解）；相反，不相容方程组则完全无解。严格地说，线性方程组 $Ax = b$ 相容当且仅当 $b$ 位于 $A$ 的列空间中，等价地说 $\text{rank}(A) = \text{rank}([A|b])$（鲁歇-卡佩利定理）；若相容且 $\text{rank}(A) = n$（未知数个数），则解唯一，若 $\text{rank}(A) < n$，则解空间是维数为 $n - \text{rank}(A)$ 的仿射子空间。
Example
$x + y = 5$ 与 $x - y = 1$ 的解为 $(3, 2)$，所以这个方程组是相容的。$y = 3x + 1$ 与 $y = 3x + 5$ 平行且无解（不相容），而 $y = 2x + 3$ 与 $y = -x + 6$ 相交于 $(1, 5)$（相容且独立）。对 $A = [[1,2],[2,4]]$，$b = [[3],[6]]$ 而言，$\text{rank}(A) = 1 = \text{rank}([A|b])$，因为 $[3,6]$ 位于 $A$ 的列张成空间中，这给出沿 $x + 2y = 3$ 分布的无穷多个解。
Key Insight
"相容"意味着"彼此一致"：如果一个方程组的各方程至少在一个答案上达成一致，它就是相容的，而不相容方程组描述的是不可能或自相矛盾的条件。通过秩来检验相容性是求解任何方程组之前的关键可行性步骤，它也是线性规划与优化中各种方法的基础。