Sistema Consistente
Un sistema de ecuaciones consistente tiene al menos una solución, es decir, las ecuaciones se satisfacen con algún conjunto de valores de las variables.
Definition
Un sistema de ecuaciones consistente tiene al menos una solución, es decir, algún conjunto de valores para las variables hace verdaderas todas las ecuaciones simultáneamente. Al graficarlo, las líneas de un sistema consistente se cruzan en exactamente un punto (independiente) o coinciden por completo (dependiente, con infinitas soluciones); un sistema inconsistente, en cambio, no tiene solución alguna. Formalmente, un sistema lineal $Ax = b$ es consistente si y solo si $b$ está en el espacio columna de $A$, equivalentemente $\text{rank}(A) = \text{rank}([A|b])$ (el teorema de Rouché-Capelli); si es consistente y $\text{rank}(A) = n$ (el número de incógnitas), la solución es única, mientras que si $\text{rank}(A) < n$ el espacio de soluciones es un subespacio afín de dimensión $n - \text{rank}(A)$.
Example
$x + y = 5$ y $x - y = 1$ tiene la solución $(3, 2)$, así que el sistema es consistente. $y = 3x + 1$ y $y = 3x + 5$ son paralelas y no tienen solución (inconsistente), mientras que $y = 2x + 3$ y $y = -x + 6$ se intersecan en $(1, 5)$ (consistente e independiente). Para $A = [[1,2],[2,4]]$, $b = [[3],[6]]$, $\text{rank}(A) = 1 = \text{rank}([A|b])$ ya que $[3,6]$ está en el espacio columna de $A$, dando infinitas soluciones a lo largo de $x + 2y = 3$.
Key Insight
Consistente significa "que concuerda": si las ecuaciones de un sistema concuerdan en al menos una respuesta, el sistema es consistente, mientras que los sistemas inconsistentes describen condiciones imposibles o contradictorias. Comprobar la consistencia mediante el rango es un paso clave de factibilidad antes de intentar resolver cualquier sistema, y sustenta los métodos usados en toda la programación lineal y la optimización.