全等
quán děng
如果两个图形形状和大小完全相同，即一个图形可以通过刚体运动映射到另一个图形上，那么它们就是全等的。
Definition
两个图形全等，是指它们的形状和大小完全相同，因此一个图形可以被拿起（翻转、旋转或平移）后恰好叠放在另一个图形上；等价地说，一个图形可以通过一系列刚体运动（平移、旋转、反射）从另一个图形得到，全等图形对应边长和角度都相等。对于三角形，全等判定方法SSS、SAS、ASA、AAS和HL可以在不需要全部六个量的情况下确认全等。严格地说，$\mathbb{R}^2$ 中的两个图形全等，当且仅当存在一个等距映射（保距映射）把一个图形映到另一个图形；欧几里得平面的每个等距映射都是至多 $3$ 次反射的复合，全等是一种等价关系，其等价类是等距变换群 $\text{Isom}(\mathbb{R}^2)$ 下的轨道。
Example
如果两个三角形的三边和三个角都相等，那么它们全等；边长为 $3$、$4$、$5$ 的三角形和边长为 $5$、$4$、$3$ 的三角形按SSS全等，即使其中一个被翻转过来（互为镜像）也是如此。旋转或反射一个图形恒得到与之全等的图形，而缩放则会产生相似图形，而非全等图形。用坐标表示时，顶点为 $\{A,B,C\}$ 和 $\{A',B',C'\}$ 的两个三角形全等，当且仅当存在一个等距映射 $T$ 满足 $T(A)=A'$，$T(B)=B'$，$T(C)=C'$，这恰好在所有六对两两距离都保持不变时成立。
Key Insight
全等的符号是一个波浪等号叠加在普通等号之上；全等图形恒有相等的周长和相等的面积，但周长或面积相等本身并不能保证全等。$\mathbb{R}^2$ 的等距变换群是欧几里得群 $E(2)$，由平移、旋转和反射生成，把几何图形按全等分类等价于研究 $E(2)$ 的轨道，这是对称群表示论中的一个核心问题。