Congruente
Dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y el mismo tamaño, es decir, si una puede transformarse en la otra mediante un movimiento rígido.
Definition
Dos figuras son congruentes si son exactamente de la misma forma y tamaño, de modo que una pueda tomarse (voltearse, girarse o deslizarse) y colocarse exactamente encima de la otra; de manera equivalente, una figura puede obtenerse de la otra mediante una secuencia de movimientos rígidos (traslaciones, rotaciones, reflexiones), y las figuras congruentes tienen longitudes de lados y medidas de ángulos correspondientes iguales. Para triángulos, los atajos de congruencia LLL, LAL, ALA, AAL y HL confirman la congruencia sin necesitar las seis medidas. Formalmente, dos figuras en $\mathbb{R}^2$ son congruentes si existe una isometría (aplicación que preserva la distancia) que envía una a la otra; toda isometría del plano euclidiano es una composición de a lo sumo $3$ reflexiones, y la congruencia es una relación de equivalencia cuyas clases son las órbitas bajo el grupo de isometrías $\text{Isom}(\mathbb{R}^2)$.
Example
Dos triángulos son congruentes si los tres lados y los tres ángulos son iguales; un triángulo con lados $3$, $4$, $5$ y otro con lados $5$, $4$, $3$ son congruentes por LLL, incluso si uno está volteado (una imagen especular). Rotar o reflejar una figura siempre produce una figura congruente, mientras que escalarla crea una figura semejante, no una congruente. En coordenadas, los triángulos con vértices $\{A,B,C\}$ y $\{A',B',C'\}$ son congruentes si y solo si existe una isometría $T$ con $T(A)=A'$, $T(B)=B'$, $T(C)=C'$, lo cual se cumple exactamente cuando se preservan las seis distancias por pares.
Key Insight
El símbolo de congruencia es un signo igual ondulado sobre un signo igual regular; las figuras congruentes siempre tienen perímetros iguales y áreas iguales, pero el perímetro o el área iguales por sí solos no garantizan la congruencia. El grupo de isometrías de $\mathbb{R}^2$ es el grupo euclidiano $E(2)$, generado por traslaciones, rotaciones y reflexiones, y clasificar figuras geométricas hasta congruencia equivale a estudiar las órbitas de $E(2)$, un problema central en la teoría de representación de grupos de simetría.