Enunciado Condicional
Un enunciado condicional es un enunciado de "si-entonces" con la forma "Si P, entonces Q", que afirma que si P es verdadero, Q también debe serlo.
Formula
P \to Q \text{ (if P then Q)}
Definition
Un enunciado condicional tiene la forma "Si $P$, entonces $Q$": $P$ es la hipótesis (la parte del "si") y $Q$ es la conclusión (la parte del "entonces"), afirmando que siempre que $P$ es verdadero, $Q$ también debe serlo. Formalmente, $P \to Q$ es falso solo cuando $P$ es verdadero y $Q$ es falso, con tabla de verdad VV=V, VF=F, FV=V, FF=V; los teoremas a menudo se enuncian como condicionales, como "Si $f$ es diferenciable, entonces $f$ es continua." En lógica proposicional, $P \to Q$ es equivalente a $\neg P \vee Q$, y los enunciados universales $\forall x\, P(x) \to Q(x)$ son la forma estándar de los teoremas matemáticos; el condicional material captura la implicación en la lógica clásica pero no en las lógicas modal o intuicionista, donde "si $P$ entonces $Q$" lleva un significado más fuerte y constructivo.
Example
"Si está lloviendo, entonces el suelo está mojado": cuando llueve, el suelo está garantizado a estar mojado. "Si $n$ es divisible por $4$, entonces $n$ es divisible por $2$" es verdadero para todos los enteros, ya que la hipótesis es más fuerte y la conclusión más débil. En la lógica intuicionista (matemática constructiva), $P \to Q$ requiere una demostración constructiva que convierta cualquier demostración de $P$ en una demostración de $Q$, a diferencia de la definición por tabla de verdad que basta en la lógica clásica.
Key Insight
Un enunciado condicional puede ser falso solo de una manera: si $P$ es verdadero pero $Q$ es falso; si $P$ es falso, el enunciado se considera verdadero sin importar $Q$ (una verdad vacua, así que "Si los cerdos vuelan, entonces $2+2=5$" es técnicamente verdadero). La elección de semántica condicional (clásica frente a intuicionista frente a modal) afecta fundamentalmente qué teoremas son demostrables, vinculando la lógica con los fundamentos de las matemáticas y las ciencias de la computación (teoría de tipos).