条件概率
tiáo jiàn gài lǜ
条件概率是在另一个事件已经发生的条件下，某事件发生的概率。
Formula
P(B|A) = \dfrac{P(A \text{ and } B)}{P(A)}
Definition
条件概率是在已知某件事已经发生的情况下，另一件事发生的可能性；这一额外信息会改变概率。给定 $A$ 时 $B$ 的条件概率为 $P(B|A) = P(A \text{ and } B)/P(A)$，在 $P(A) > 0$ 时有定义，表示在已知 $A$ 发生的受限样本空间中 $B$ 的概率；如果 $P(B|A) = P(B)$，则事件独立。形式上，条件概率可以推广为条件期望 $E[Y|X]$，这是一个随机变量，对每个取值 $x$ 都等于 $E[Y|X=x]$；塔性质 $E[Y] = E[E[Y|X]]$ 是概率论和统计学中的基础，贝叶斯定理由此直接得出：$P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B)$。
Example
已知一次掷骰子的结果是偶数，掷出 $4$ 的概率是多少？偶数结果是 $\{2,4,6\}$，其中只有一个是 $4$，所以 $P(4 \mid \text{even}) = 1/3$。在一个 $30$ 人的班级中，$18$ 人参加体育运动，$12$ 人参加音乐活动，$6$ 人两者都参加：$P(\text{music} \mid \text{sports}) = (6/30)/(18/30) = 1/3$，意味着在参加体育运动的人中，$1/3$ 也参加音乐活动。用于医学诊断的贝叶斯定理，$P(\text{disease} \mid \text{positive test}) = P(\text{positive} \mid \text{disease})P(\text{disease})/P(\text{positive})$，若患病率为 $0.01$，灵敏度为 $0.95$，特异度为 $0.90$，得到 $P(\text{disease} \mid \text{positive}) = 0.95(0.01)/0.1085 = 0.0876$，尽管检测呈阳性，患病概率也只有 $8.76\%$。
Key Insight
条件概率关乎用新信息更新你的预测；"已知……"是标志它的关键短语，双向（列联）表是计算条件概率的理想工具：只需关注对应给定条件的那一行或那一列，将其视为一个新的样本空间。低基础率悖论说明，即使是高度准确的检测，在条件本身较为罕见时也会产生大量假阳性，因为真阳性的概率被人群中大量的阴性结果所淹没，这对医学筛查项目有着深远的影响。