Probabilidad Condicional
La probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento dado que ya ocurrió otro evento.
Formula
P(B|A) = \dfrac{P(A \text{ and } B)}{P(A)}
Definition
La probabilidad condicional es la posibilidad de que algo suceda dado que ya sabemos que sucedió otra cosa; la información adicional cambia la probabilidad. La probabilidad condicional de $B$ dado $A$ es $P(B|A) = P(A \text{ and } B)/P(A)$, definida cuando $P(A) > 0$, representando la probabilidad de $B$ en el espacio muestral restringido donde se sabe que $A$ ocurrió; si $P(B|A) = P(B)$, los eventos son independientes. Formalmente, la probabilidad condicional se extiende a la esperanza condicional $E[Y|X]$, una variable aleatoria igual a $E[Y|X=x]$ para cada valor $x$; la propiedad de la torre $E[Y] = E[E[Y|X]]$ es fundamental en la probabilidad y la estadística, y el teorema de Bayes se sigue directamente: $P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B)$.
Example
¿Cuál es la probabilidad de sacar un $4$ dado que ya sabes que el resultado fue par? Los resultados pares son $\{2,4,6\}$, y solo uno es un $4$, así que $P(4 \mid \text{even}) = 1/3$. De una clase de $30$ donde $18$ practican deportes, $12$ practican música, y $6$ ambos: $P(\text{music} \mid \text{sports}) = (6/30)/(18/30) = 1/3$, lo que significa que entre quienes practican deportes, $1/3$ también practica música. El teorema de Bayes para el diagnóstico médico, $P(\text{disease} \mid \text{positive test}) = P(\text{positive} \mid \text{disease})P(\text{disease})/P(\text{positive})$, con prevalencia $0.01$, sensibilidad $0.95$, y especificidad $0.90$, da $P(\text{disease} \mid \text{positive}) = 0.95(0.01)/0.1085 = 0.0876$, solo $8.76\%$ a pesar de una prueba positiva.
Key Insight
La probabilidad condicional se trata de actualizar tu predicción con nueva información; "dado que..." es la frase clave que la señala, y las tablas de dos vías (de contingencia) son ideales para calcularla: concéntrate en la fila o columna correspondiente a la condición dada y trátala como un nuevo espacio muestral. La paradoja de la tasa base baja muestra que incluso una prueba muy precisa tiene muchos falsos positivos cuando la condición es rara, porque la probabilidad de un verdadero positivo se ve superada por el gran número de negativos en la población, con implicaciones profundas para los programas de detección médica.