凹凸性
āo tū xìng
凹凸性描述曲线是像碗一样向上弯曲(凹向上)还是像圆顶一样向下弯曲(凹向下),由二阶导数的符号决定。
Formula
f''(x) > 0: \text{ concave up; } f''(x) < 0: \text{ concave down}
Definition
凹凸性描述曲线弯曲的方向：上凹（凹向上）意味着曲线看起来像一个微笑或碗，下凹（凹向下）意味着它看起来像一个皱眉或圆顶。严格地说，若在某区间上 $f'' > 0$，则 $f$ 在该区间上凹向上（切线位于曲线下方）；若 $f'' < 0$，则凹向下（切线位于曲线上方）；凹凸性在拐点处发生变化。更一般地，若对区间内所有 $x, y$ 以及 $[0,1]$ 中的 $t$，都有 $f(tx + (1-t)y) \le tf(x) + (1-t)f(y)$，则函数是凸的（凹向上），当 $f$ 二阶可导时，这等价于 $f'' \ge 0$。
Example
$y = x^2$ 处处凹向上（像 U 形一样朝上开口），而 $y = -x^2$ 凹向下（像倒 U 形一样朝下开口）。对于 $f(x) = x^3 - 3x$：$f''(x) = 6x$ 在 $x < 0$ 时为负（凹向下），在 $x > 0$ 时为正（凹向上），在 $x=0$ 处有拐点。詹森不等式由凸性得出：对于凸函数 $f$ 和随机变量 $X$，$E[f(X)] \ge f(E[X])$，这是许多统计学不等式的基础。
Key Insight
碗凹向上就能盛水，圆顶凹向下就会把水排开，这是记忆两者区别的简便方法；了解凹凸性能大幅提升画图能力，因为它告诉你曲线在临界点之间是朝哪个方向弯曲的。凸性保证任何局部最小值都是全局最小值，这一性质在机器学习和运筹学中被广泛利用。