Concavidad
La concavidad describe si una curva se curva hacia arriba como un tazón (cóncava hacia arriba) o hacia abajo como una cúpula (cóncava hacia abajo), determinado por el signo de la segunda derivada.
Formula
f''(x) > 0: \text{ concave up; } f''(x) < 0: \text{ concave down}
Definition
La concavidad describe hacia qué lado se curva una curva: cóncava hacia arriba significa que la curva parece una sonrisa o un tazón, cóncava hacia abajo significa que parece un ceño fruncido o una cúpula. Formalmente, $f$ es cóncava hacia arriba en un intervalo si $f'' > 0$ ahí (las rectas tangentes quedan debajo de la curva) y cóncava hacia abajo si $f'' < 0$ (las rectas tangentes quedan arriba); la concavidad cambia en los puntos de inflexión. De forma más general, una función es convexa (cóncava hacia arriba) si para todo $x, y$ en el intervalo y $t$ en $[0,1]$: $f(tx + (1-t)y) \le tf(x) + (1-t)f(y)$, equivalente a $f'' \ge 0$ cuando $f$ es dos veces diferenciable.
Example
$y = x^2$ es cóncava hacia arriba en todas partes (se abre hacia arriba como una U), mientras que $y = -x^2$ es cóncava hacia abajo (se abre hacia abajo como una U invertida). Para $f(x) = x^3 - 3x$: $f''(x) = 6x$ es negativa para $x < 0$ (cóncava hacia abajo) y positiva para $x > 0$ (cóncava hacia arriba), con una inflexión en $x=0$. La desigualdad de Jensen se deduce de la convexidad: para una función convexa $f$ y una variable aleatoria $X$, $E[f(X)] \ge f(E[X])$, lo cual sustenta muchas cotas estadísticas.
Key Insight
Una taza sostiene agua si es cóncava hacia arriba, una cúpula la deja escurrir si es cóncava hacia abajo, una forma fácil de recordar cuál es cuál, y conocer la concavidad mejora enormemente el trazado de gráficas ya que indica hacia qué lado se curva entre los puntos críticos. La convexidad garantiza que cualquier mínimo local sea un mínimo global, propiedad explotada extensamente en el aprendizaje automático y la investigación de operaciones.