复利
fù lì
复利是根据本金和已累积利息共同计算的利息，会随时间呈指数增长。
Formula
A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}
Definition
复利是被加到你的总额上的利息，所以下一次计算利息时，是基于新的、更大的总额来计算的：利息生利息，随着时间推移滚雪球般增长。形式上，$A = P(1 + r/n)^{nt}$，其中$P$是本金，$r$是年利率，$n$是每年复利的次数，$t$是以年为单位的时间；常见的频率包括每年一次（$n=1$）、每月一次（$n=12$）和每天一次（$n=365$），复利越频繁，回报略高。当$n$趋于无穷大时（连续复利），$A = P \lim_{n \to \infty} (1 + r/n)^{nt} = P e^{rt}$，这是微分方程$dA/dt = rA$（初始条件$A(0) = P$）的解；数$e = \lim_{n \to \infty}(1+1/n)^n$正是从这个复利过程中自然产生的。
Example
$\$100$按$10\%$年复利计算，第$1$年末增长到$\$110$，第$2$年末增长到$\$121$（$\$110 + \$110$的$10\%$），第$3$年末增长到$\$133.10$，超过了单利会给出的$\$130$。对于$\$1{,}000$按$6\%$计息$5$年：每年复利给出$A = 1000(1.06)^5 = \$1{,}338.23$，每月复利给出$1000(1+0.06/12)^{60} = \$1{,}348.85$，连续复利给出$1000e^{0.06 \times 5} = \$1{,}349.86$，展示了复利频率对增长的影响。当$r = 0.05$时，连续复利的有效年利率约为$e^{0.05} - 1 \approx 5.127\%$，经过$20$年后，$A = Pe^{0.05 \times 20} = Pe \approx 2.718P$。
Key Insight
复利随着时间推移增长得越来越快，时间跨度越长，相比单利的优势就越大，这就是为什么尽早开始为退休储蓄，哪怕金额很小，也能产生如此巨大的差异。"72法则"给出了翻倍时间的快速估算：年数$\approx 72/(\text{annual rate in }\%)$，所以在$6\%$下资金约$12$年翻倍，在$12\%$下约$6$年翻倍。公式$A = Pe^{rt}$是指数增长最简单的例子，是人口增长和放射性衰变（$r$为负）所使用的同一模型；$e$在金融、物理和生物学中无处不在，都可以追溯到同一个极限，是连续比例增长的自然结果。