Interés Compuesto
El interés compuesto es el interés que se calcula tanto sobre el capital original como sobre el interés acumulado, lo que provoca un crecimiento exponencial con el tiempo.
Formula
A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}
Definition
El interés compuesto es el interés que se agrega a tu total, así que la próxima vez que se calcula el interés, se calcula sobre el nuevo total, más grande: el interés gana más interés, y se acumula como una bola de nieve con el tiempo. Formalmente, $A = P(1 + r/n)^{nt}$, donde $P$ es el capital, $r$ la tasa anual, $n$ el número de periodos de capitalización por año, y $t$ el tiempo en años; las frecuencias comunes incluyen anual ($n=1$), mensual ($n=12$), y diaria ($n=365$), y una capitalización más frecuente da rendimientos ligeramente mayores. Cuando $n$ se aproxima a infinito (capitalización continua), $A = P \lim_{n \to \infty} (1 + r/n)^{nt} = P e^{rt}$, la solución de la ecuación diferencial $dA/dt = rA$ con $A(0) = P$; el número $e = \lim_{n \to \infty}(1+1/n)^n$ surge naturalmente de este proceso de capitalización.
Example
$\$100$ al $10\%$ de interés capitalizado anualmente crece a $\$110$ después del año $1$, $\$121$ después del año $2$ ($\$110 + 10\%$ de $\$110$), y $\$133.10$ después del año $3$, más de lo que daría el interés simple de $\$130$. Para $\$1{,}000$ al $6\%$ durante $5$ años: la capitalización anual da $A = 1000(1.06)^5 = \$1{,}338.23$, la mensual da $1000(1+0.06/12)^{60} = \$1{,}348.85$, y la capitalización continua da $1000e^{0.06 \times 5} = \$1{,}349.86$, mostrando cómo la frecuencia de capitalización afecta el crecimiento. Con $r = 0.05$, la capitalización continua tiene una tasa anual efectiva de $e^{0.05} - 1 \approx 5.127\%$, y después de $20$ años, $A = Pe^{0.05 \times 20} = Pe \approx 2.718P$.
Key Insight
El interés compuesto crece cada vez más rápido con el tiempo, y cuanto más largo sea el horizonte temporal, mayor es la ventaja sobre el interés simple, razón por la cual empezar a ahorrar temprano para el retiro, incluso en pequeñas cantidades, marca una diferencia enorme. La "regla del 72" da una estimación rápida del tiempo de duplicación: años $\approx 72/(\text{annual rate in }\%)$, así que el dinero se duplica en unos $12$ años al $6\%$ o en unos $6$ años al $12\%$. La fórmula $A = Pe^{rt}$ es el ejemplo más simple de crecimiento exponencial, el mismo modelo usado para el crecimiento poblacional y el decaimiento radiactivo (con $r$ negativo); la ubicuidad de $e$ en finanzas, física y biología se remonta todo al mismo límite, el resultado natural del crecimiento proporcional continuo.