复数
fù shù
复数是形如 $a + bi$ 的数,其中 $a$ 和 $b$ 是实数,$i$ 是满足 $i^2 = -1$ 的虚数单位。
Formula
z = a + bi
Definition
复数有两部分，实部和虚部，写作 $a + bi$，其中 $i$ 是 $-1$ 的平方根；复数的发明是为了求解像 $x^2 = -1$ 这样没有实数解的方程，一旦允许 $i = \sqrt{-1}$，任何多项式方程都可以求解，无论有多困难。严格地说，$z = a + bi$，其中 $a, b$ 是实数，$i^2 = -1$：加法是 $(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i$，乘法是 $(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i$，模是 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$，把实数轴扩展成一个二维平面。复数集 $\mathbb{C}$ 构成一个代数闭域，每一个非常数的复系数多项式都有一个复数根（代数基本定理），$\mathbb{C}$ 在 $|z|$ 度量下也是一个完备度量空间，是 $\mathbb{R}$ 唯一（在同构意义下）的代数闭包。
Example
$3 + 4i$ 的实部是 $3$，虚部是 $4$；$5 + 0i$ 就是实数 $5$；$0 + 7i = 7i$ 是纯虚数。解 $x^2 + 4 = 0$ 得 $x^2 = -4$，所以 $x = \pm 2i$；相乘 $(2+3i)(1-i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 5 + i$。欧拉公式 $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$ 用极坐标形式 $z = re^{i\theta}$ 表示复数，其中 $r = |z|$，$\theta = \arg(z)$，所以相乘 $z_1 z_2$ 就是把模相乘、把辐角相加。
Key Insight
复平面（阿甘图）把 $a + bi$ 表示为点 $(a, b)$，模 $|z|$ 就是到原点的距离，把代数、几何与三角学统一在一幅图景中。$\mathbb{R}$ 的代数闭包是 $\mathbb{C}$，只需添加单独一个元素 $i$ 就能得到，这是很特殊的：对于像 $\mathbb{Q}$ 这样的其他域，代数闭包是无穷维的，这使得 $\mathbb{C}$ 在代数和度量意义上都独一无二地"完备"。