Número Complejo
Un número complejo es un número de la forma $a + bi$, donde $a$ y $b$ son números reales e $i$ es la unidad imaginaria que satisface $i^2 = -1$.
Formula
z = a + bi
Definition
Un número complejo tiene dos partes, una parte real y una parte imaginaria, escrito $a + bi$ donde $i$ es la raíz cuadrada de $-1$; los números complejos fueron inventados para resolver ecuaciones como $x^2 = -1$, que no tiene solución real, y una vez que se permite $i = \sqrt{-1}$, se puede resolver cualquier ecuación polinómica, sin importar cuán difícil sea. Formalmente, $z = a + bi$ con $a, b$ reales e $i^2 = -1$: la suma es $(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i$, la multiplicación es $(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i$, y el módulo es $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, extendiendo la recta numérica real a un plano 2D. Los números complejos $\mathbb{C}$ forman un cuerpo algebraicamente cerrado, todo polinomio no constante con coeficientes complejos tiene una raíz compleja (el Teorema Fundamental del Álgebra), y $\mathbb{C}$ es también un espacio métrico completo bajo $|z|$, la única (salvo isomorfismo) clausura algebraica de $\mathbb{R}$.
Example
$3 + 4i$ tiene parte real $3$ y parte imaginaria $4$; $5 + 0i$ es simplemente el número real $5$, y $0 + 7i = 7i$ es un número puramente imaginario. Resolver $x^2 + 4 = 0$ da $x^2 = -4$, así que $x = \pm 2i$, y multiplicar $(2+3i)(1-i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 5 + i$. La fórmula de Euler, $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$, representa los números complejos en forma polar $z = re^{i\theta}$ donde $r = |z|$ y $\theta = \arg(z)$, así que multiplicar $z_1 z_2$ multiplica los módulos y suma los argumentos.
Key Insight
El plano complejo (diagrama de Argand) representa $a + bi$ como el punto $(a, b)$, con el módulo $|z|$ como la distancia al origen, unificando álgebra, geometría y trigonometría en una sola imagen. La clausura algebraica de $\mathbb{R}$ es $\mathbb{C}$, alcanzada agregando un solo elemento, $i$, lo cual es excepcional: para otros cuerpos como $\mathbb{Q}$, la clausura algebraica es de dimensión infinita, haciendo de $\mathbb{C}$ algo únicamente "completo" tanto en sentido algebraico como métrico.