事件的补集
shì jiàn de bǔ jí
一个事件的补集是样本空间中所有不属于该事件的结果组成的集合。
Formula
P(\text{not } A) = 1 - P(A)
Definition
一个事件的补集是所有不属于该事件的结果：如果一个事件是"掷出 5"，它的补集就是"掷出除 5 以外的任何数"（1、2、3、4 或 6）。记作 $A'$ 或 $A^c$，它由样本空间中所有不属于 $A$ 的结果组成，遵循补集规则 $P(A') = 1 - P(A)$；$A$ 和 $A'$ 是互斥且穷举的，涵盖所有可能的结果且没有重叠。形式上，$A^c = \Omega \setminus A$ 满足 $A \cup A^c = \Omega$ 且 $A \cap A^c = \emptyset$；由可数可加性可得 $P(A) + P(A^c) = P(\Omega) = 1$，德摩根定律将补集与并集、交集联系起来：$(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$ 以及 $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$。
Example
如果 $P(\text{rain tomorrow}) = 0.3$，其补集为 $P(\text{no rain}) = 1 - 0.3 = 0.7$，这两个事件合起来涵盖了所有可能发生的情况。直接计算在 $5$ 张牌中至少抽到一张 A 比较复杂，但通过补集，$P(\text{at least one ace}) = 1 - P(\text{no aces})$；由于 $P(\text{no aces in } 5 \text{ cards}) = \binom{48}{5}/\binom{52}{5} \approx 0.659$，所以 $P(\text{at least one ace}) = 1 - 0.659 = 0.341$。邦费罗尼不等式 $P(\text{at least one } A_i) \le \sum P(A_i)$ 和并集界 $P(\bigcup A_i) = 1 - P(\bigcap A_i^c)$ 有助于在高维概率中界定罕见事件的概率。
Key Insight
补集规则是一个有用的捷径：与其直接求一个复杂事件的概率，不如求其补集的概率，再用 1 减去它；"至少一个"类型的问题几乎总是用补集最容易求解，$P(\text{at least one}) = 1 - P(\text{none})$。德摩根定律在计算复杂事件的概率时是基础性的，它支持在并集和交集问题之间转换，从而更容易利用容斥原理或独立性。