Complemento de un Evento
El complemento de un evento es el conjunto de todos los resultados del espacio muestral que NO están en el evento.
Formula
P(\text{not } A) = 1 - P(A)
Definition
El complemento de un evento es todo lo que NO es ese evento: si un evento es "sacar un 5," su complemento es "sacar cualquier cosa menos 5" (1, 2, 3, 4, o 6). Escrito $A'$ o $A^c$, consiste en todos los resultados del espacio muestral que no están en $A$, siguiendo la regla del complemento $P(A') = 1 - P(A)$; juntos, $A$ y $A'$ son mutuamente excluyentes y exhaustivos, cubriendo todos los resultados posibles sin superposición. Formalmente, $A^c = \Omega \setminus A$ satisface $A \cup A^c = \Omega$ y $A \cap A^c = \emptyset$; por aditividad numerable, $P(A) + P(A^c) = P(\Omega) = 1$, y las leyes de De Morgan conectan los complementos con las uniones e intersecciones: $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$ y $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$.
Example
Si $P(\text{rain tomorrow}) = 0.3$, el complemento es $P(\text{no rain}) = 1 - 0.3 = 0.7$, y estos dos eventos juntos cubren todo lo que podría pasar. Sacar al menos un as en $5$ cartas es complejo de calcular directamente, pero mediante el complemento, $P(\text{at least one ace}) = 1 - P(\text{no aces})$; ya que $P(\text{no aces in } 5 \text{ cards}) = \binom{48}{5}/\binom{52}{5} \approx 0.659$, $P(\text{at least one ace}) = 1 - 0.659 = 0.341$. La desigualdad de Bonferroni, $P(\text{at least one } A_i) \le \sum P(A_i)$, y la cota de unión $P(\bigcup A_i) = 1 - P(\bigcap A_i^c)$ son útiles para acotar probabilidades de eventos raros en la probabilidad de alta dimensión.
Key Insight
La regla del complemento es un atajo útil: en lugar de encontrar la probabilidad de un evento complejo directamente, encuentra la probabilidad de su complemento y réstala de 1; los problemas de "al menos uno" casi siempre son más fáciles mediante el complemento, $P(\text{at least one}) = 1 - P(\text{none})$. Las leyes de De Morgan son fundamentales para calcular probabilidades de eventos complejos, permitiendo la conversión entre problemas de unión e intersección y facilitando el uso de la inclusión-exclusión o la independencia.