小数比较
xiǎo shù bǐ jiào
小数比较是通过从左到右检查各位值，判断两个小数中哪个更大、更小或相等。
Definition
要比较小数，先对齐小数点，从左到右逐位比较，从最大的位值到最小的位值；数字第一次出现不同的那一位就告诉你哪个数更大。更精确地说，先比较整数部分，再比较十分位，然后是百分位，依此类推，向右继续，直到找到差异为止（在末尾补零，如$0.6 = 0.600$，可以让位数不同的数字逐位比较）。这等价于通过柯西序列或戴德金分割表示来比较实数：$x < y$当且仅当存在$n$使得$\lfloor 10^n x \rfloor < \lfloor 10^n y \rfloor$，这与有序域的公理是一致的。
Example
比较$0.6$和$0.58$，把它们对齐写成$0.60$对$0.58$：十分位数字是$6$对$5$，所以$0.6 > 0.58$立刻可以确定，尽管$0.58$的位数更多。把$0.305$、$0.35$、$0.3$从小到大排序：改写成$0.300$、$0.350$、$0.305$，比较十分位（都是$3$），再比较百分位，得$0.3 < 0.305 < 0.35$。对于以小数展开形式给出的无理数，比较可能需要任意多的位数：比较$\sqrt{2} = 1.41421\ldots$与$1.4142135\ldots$意味着要展开越来越多的位数，直到终于出现差异为止。
Key Insight
位数更多并不意味着小数更大：$0.9$比$0.89$大，因为$9$个十分之一多于$8$个十分之一，所以要始终从左到右、逐位地比较。补齐足够的末尾零后，小数的比较算法与数字字符串的字典序（词典）排序完全相同，这就是为什么数据库中的字符串排序和数值排序可能不一致，"10"在字典序中排在"9"之前，但数值上并非如此。以无限精度比较小数的这种微妙之处正是实数定义的基础：两个柯西序列表示同一个实数当且仅当它们的差收敛于零，这是对边界情形（如$0.999\ldots = 1.000\ldots$）中"相同小数展开"这一说法的形式化版本。