Comparación de Decimales
Comparar decimales significa determinar cuál de dos números decimales es mayor, menor o igual, examinando los valores posicionales de izquierda a derecha.
Definition
Para comparar decimales, alinea los puntos decimales y compara dígito por dígito de izquierda a derecha, desde el valor posicional más grande hasta el más pequeño; la primera posición donde los dígitos difieren indica cuál número es mayor. Más precisamente, compara primero las partes enteras, luego los décimos, luego los centésimos, y así sucesivamente, continuando hacia la derecha hasta encontrar una diferencia (agregar ceros al final como en $0.6 = 0.600$ permite comparar números de distinta longitud dígito por dígito). Esto es equivalente a comparar números reales mediante sus representaciones como sucesión de Cauchy o cortadura de Dedekind: $x < y$ si y solo si existe $n$ tal que $\lfloor 10^n x \rfloor < \lfloor 10^n y \rfloor$, de forma consistente con los axiomas de un cuerpo ordenado.
Example
Compara $0.6$ y $0.58$ alineándolos como $0.60$ vs $0.58$: los dígitos de los décimos son $6$ vs $5$, así que $0.6 > 0.58$ de inmediato, aunque $0.58$ tenga más dígitos. Ordenar $0.305$, $0.35$, $0.3$ de menor a mayor: reescritos como $0.300$, $0.350$, $0.305$, comparando los décimos (todos $3$), luego los centésimos, da $0.3 < 0.305 < 0.35$. Para números irracionales dados como expansiones decimales, la comparación puede requerir un número arbitrario de dígitos: comparar $\sqrt{2} = 1.41421\ldots$ con $1.4142135\ldots$ significa expandir cada vez más dígitos hasta que finalmente aparece una diferencia.
Key Insight
Más dígitos NO significa un decimal más grande: $0.9$ es mayor que $0.89$ porque $9$ décimos es más que $8$ décimos, así que siempre compara de izquierda a derecha, posición por posición. El algoritmo de comparación de decimales es idéntico al orden lexicográfico (de diccionario) sobre las cadenas de dígitos después de agregar suficientes ceros al final, razón por la cual los ordenamientos de cadenas y los numéricos en bases de datos pueden diferir, "10" viene antes que "9" lexicográficamente pero no numéricamente. La sutileza de comparar decimales con precisión infinita subyace en la definición de los números reales: dos sucesiones de Cauchy definen el mismo número real si y solo si su diferencia converge a cero, la versión formal de "misma expansión decimal" para casos límite como $0.999\ldots = 1.000\ldots$.