公比
gōng bǐ
公比是等比数列中相邻两项之间恒定的乘数。
Formula
r = a_{n+1} / a_n
Definition
公比是等比数列中用来把每一项乘出下一项的那个数，即每一对相邻项之间相同的值：$r = a_{n+1} / a_n$ 对所有 $n$ 成立。它决定了数列的行为：$r > 1$ 表示增长，$0 < r < 1$ 表示向 $0$ 衰减，$r = -1$ 在两个值之间交替，而无穷等比级数收敛则要求 $|r| < 1$。公比是乘法群 $(\mathbb{R}\setminus\{0\}, \times)$ 或 $(\mathbb{C}\setminus\{0\}, \times)$ 中的一个元素，收敛条件依赖于所选的度量：在非阿基米德（p 进）度量下，$|r|_p < 1$ 可能对通常意义下很大的有理数也成立。
Example
在 $5, 15, 45, 135, \ldots$ 中，公比是 $3$；在 $80, 40, 20, 10, \ldots$ 中，公比是 $1/2$。一种每年损失 $20\%$ 质量的放射性物质，$r = 0.80$：从 $100$ 克开始得到 $100, 80, 64, 51.2, 40.96, \ldots$，公比 $0.80$ 编码了衰减速率。在 p 进分析中，几何级数 $\sum_{n=0}^{\infty} p^n$ 在 p 进度量下收敛于 $1/(1-p)$，因为 $|p|_p = 1/p < 1$，尽管 $p$ 在实数意义下大于 $1$。
Key Insight
可以用任意一项除以它前面的一项来求公比；如果每次得到的答案相同，这个数列就是等比数列，$r$ 是该数列背后指数函数的底数，所以知道 $r$ 和一项就能完全确定整个数列。收敛条件 $|r| < 1$ 与所选的度量密切相关：同一个域上不同的度量会产生不同的"小"的概念，从而改变哪些几何级数能够收敛。