Razón Común
La razón común es el multiplicador constante entre términos consecutivos de una sucesión geométrica.
Formula
r = a_{n+1} / a_n
Definition
La razón común es el número por el cual se multiplica cada término para obtener el siguiente en una sucesión geométrica, el mismo valor entre cada par de términos consecutivos: $r = a_{n+1} / a_n$ para todo $n$. Determina el comportamiento de la sucesión: $r > 1$ da crecimiento, $0 < r < 1$ da decaimiento hacia $0$, $r = -1$ alterna entre dos valores, y $|r| < 1$ se requiere para que una serie geométrica infinita converja. La razón común es un elemento del grupo multiplicativo $(\mathbb{R}\setminus\{0\}, \times)$ o $(\mathbb{C}\setminus\{0\}, \times)$, y la condición de convergencia depende de la métrica elegida: en métricas no arquimedianas (p-ádicas), $|r|_p < 1$ puede cumplirse para racionales que son grandes en el sentido usual.
Example
En $5, 15, 45, 135, \ldots$, la razón común es $3$, y en $80, 40, 20, 10, \ldots$, es $1/2$. Una sustancia radiactiva que pierde $20\%$ de su masa cada año tiene $r = 0.80$: empezando en $100$g da $100, 80, 64, 51.2, 40.96, \ldots$, con la razón $0.80$ codificando la tasa de decaimiento. En análisis p-ádico, la serie geométrica $\sum_{n=0}^{\infty} p^n$ converge a $1/(1-p)$ en la métrica p-ádica ya que $|p|_p = 1/p < 1$, aun cuando $p > 1$ como número real.
Key Insight
Puedes encontrar la razón común dividiendo cualquier término entre el término anterior; si la respuesta es la misma cada vez, la sucesión es geométrica, y $r$ es la base de la función exponencial subyacente a la sucesión, así que conocer $r$ y un término la determina completamente. La condición de convergencia $|r| < 1$ está profundamente ligada a la métrica elegida: distintas métricas en el mismo cuerpo producen distintas nociones de lo que significa "pequeño," cambiando qué series geométricas convergen.