常用对数
cháng yòng duì shù
常用对数记作 log(x) 或 log_10(x),是以 10 为底的对数,表示要使 10 的幂等于 x 所需的指数。
Formula
\log(x) = \log_{10}(x)
Definition
常用对数是以 $10$ 为底的对数：当"log"不带底数写出时，通常表示以 $10$ 为底，问"$10$ 的多少次方能得到这个数？"严格地说，$\log_{10}(x) = \log(x)$ 是 $10^x$ 的反函数，满足 $\log(10^x) = x$ 和 $10^{\log(x)} = x$（$x > 0$）；它与自然对数的关系是 $\log_{10}(x) = \ln(x)/\ln(10) = \ln(x)/2.302585\ldots$，即相差一个常数缩放因子。在电子计算器出现之前，它在计算上是最方便的对数，不过在数论中 ln 才是自然的选择（默滕斯定理、素数定理），而 $\log_{10}$ 仍然出现在估算 $n!$ 及其他组合量的位数时。
Example
$\log(100) = 2$，因为 $10^2 = 100$；$\log(1000) = 3$；$\log(10) = 1$；$\log(1) = 0$；$\log(0.01) = -2$，因为 $10^{-2} = 0.01$。在里氏震级中，$M = \log(I/I_0)$，所以震级 $6$ 的地震强度是震级 $5$ 的 $10$ 倍；在 pH 尺度中，$\text{pH} = -\log([H^+])$，所以 pH 值为 $4$ 的酸性是 pH 值为 $5$ 的 $10$ 倍。$n!$ 的十进制位数是 $\lfloor \log_{10}(n!) \rfloor + 1$，由斯特林近似，$\log_{10}(n!) \approx n\log_{10}(n) - n\log_{10}(e) + 0.5\log_{10}(2\pi n)$。
Key Insight
以 $10$ 为底之所以方便，是因为我们的数字系统就是以 $10$ 为底的：$\log(x)$ 大致告诉你 $x$ 有多少位数，更精确地说，$n$ 的位数是 $\lfloor \log(n) \rfloor + 1$，所以常用对数在处理 $10$ 的幂或"数量级"（例如科学记数法）时尤其有用。在信息论中 $\log_2$ 是标准（度量比特），在热力学中 $\ln$ 是标准，而 $\log_{10}$ 历史上是计算上最方便的；这三者都通过常数缩放因子相互关联，说明本质上只存在一个对数函数。