Logaritmo Común
El logaritmo común, escrito log(x) o log_10(x), es el logaritmo con base 10 y representa la potencia de 10 necesaria para igualar x.
Formula
\log(x) = \log_{10}(x)
Definition
El logaritmo común es un logaritmo con base $10$: cuando "log" se escribe sin base, generalmente significa base $10$, preguntando "¿qué potencia de $10$ da este número?" Formalmente, $\log_{10}(x) = \log(x)$ es la inversa de $10^x$, satisfaciendo $\log(10^x) = x$ y $10^{\log(x)} = x$ para $x > 0$; se relaciona con el logaritmo natural mediante $\log_{10}(x) = \ln(x)/\ln(10) = \ln(x)/2.302585\ldots$, un factor de escala constante. Históricamente fue el logaritmo más útil computacionalmente antes de las calculadoras electrónicas, aunque en teoría de números ln es la opción natural (teorema de Mertens, el teorema de los números primos), mientras que $\log_{10}$ aún aparece en estimaciones del número de dígitos de $n!$ y otras cantidades combinatorias.
Example
$\log(100) = 2$ porque $10^2 = 100$, $\log(1000) = 3$, $\log(10) = 1$, $\log(1) = 0$, y $\log(0.01) = -2$ porque $10^{-2} = 0.01$. En la escala de Richter, $M = \log(I/I_0)$, así que un terremoto de magnitud $6$ es $10$ veces más fuerte que uno de magnitud $5$; en la escala de pH, $\text{pH} = -\log([H^+])$, así que un pH $4$ es $10$ veces más ácido que un pH $5$. El número de dígitos decimales de $n!$ es $\lfloor \log_{10}(n!) \rfloor + 1$, y por la aproximación de Stirling, $\log_{10}(n!) \approx n\log_{10}(n) - n\log_{10}(e) + 0.5\log_{10}(2\pi n)$.
Key Insight
La base $10$ es conveniente porque nuestro sistema numérico es base $10$: $\log(x)$ indica aproximadamente cuántos dígitos tiene $x$, más precisamente, el número de dígitos de $n$ es $\lfloor \log(n) \rfloor + 1$, así que los logaritmos comunes son especialmente útiles cuando se trabaja con potencias de $10$ u "órdenes de magnitud," como en la notación científica. En teoría de la información $\log_2$ es estándar (midiendo bits), en termodinámica $\ln$ es estándar, y $\log_{10}$ fue históricamente el más conveniente computacionalmente; los tres están relacionados por factores de escala constantes, reflejando que en realidad solo hay una función logarítmica.